某公司运筹优化岗位第一次面试
P问题， NP问题， NPC问题， NP-hard问题
- 基本概念
- 复杂度级别: 1)多项式级别O(nk);2)非多项式级别，如，指数级O(an)和阶乘级别O(n!)。后者的复杂度无论如何都大于前者。
- 归约(约化)：如果能找到这样一个多项式变换法则，对任意一个程序A的输入，都能按这个法则变换为程序B的输入，使两程序的输出相同，那么我们说，问题A可归约为问题B。
- 通俗解释：一个问题A可以归约为问题B指，可以用问题B的解法解决问题A，或者说，问题A可以“变成”问题B。
- 特点：“问题A可归约为问题B”有一个直观意义，B的时间复杂度高于或者等于A的时间复杂度，既，问题A不比问题B难。
- 性质：传递性。如果问题A可以归约为问题B，问题B可以归约为问题C，则问题A一定可以归约为问题C。
- P问题， NP问题， NPC问题， NP-hard问题的定义和相互关系
- P问题(polynomial)：求解一个问题的时间复杂度是多项式级别
- NP问题(nondeterministic polynomial)：可以在多项式时间里验证解是否正确的问题。定义NP问题的意义在于，如果一个问题不能在多项式时间验证，则这个问题一定没有多项式时间的算法。
- 图中某条路是否是Hamilton回路，可以在多项式时间验证，是NP问题图中
- 是否不存在Hamilton回路，不可以在多项式时间验证。
- NPC问题(nondeterministic polynomial complete)：
- 定义：一个问题1）它是NP问题；2）所有的问题都可以约化到它，这样的问题称为NPC问题。
- 证明：1）先证明它是NP问题；2）再证明其中一个已知的NPC问题能约化到它（由约化的传递性，如果A能约化到B，则B的时间复杂度不低于A）。
- 特点：NPC问题目前没有多项式的有效解法，只能有指数级或阶乘级复杂度的算法搜索
- NP-hard问题(nondeterministic polynomial - hard)：满足NPC问题的第2条但是不一定满足第1条。即使NPC问题获得了多项式级别的求解算法，NP-hard问题可能仍然找不到多项式级的算法。
- 他们之间的关系：
- P问题一定是NP问题，当前无法证明NP问题是否是P问题。但普遍认为P≠NP。于是NP问题包含P问题。
- NP问题可以归约为NPC问题，所以NP问题包含NPC问题
参考资料：
动态规划解背包问题
一维背包问题
def dynamicAlgorithm_Knapscak(w, v, b):
"""用动态规划方法求解背包问题
输入：
w: 物品的重量 dtype int
v: 物品的价值 dtype int
b: 背包的重量
输出：
x：最优解，各个物品是否装入背包
max_value：装入背包的物品的重量
"""
# 判断异常
if len(w)!=len(v):
print('请检查输入')
return -1,0
# 边界条件
n = len(w)
# F[i,j] 当背包重量为j，可取前i个物品时,可装入物品的最大重量
F = np.zeros((n+1, b+1), dtype=int)
# info[i,j],当背包重量为j，可取前i个物品时, 装入的物品的最大标号
info = np.zeros((n+1, b+1), dtype=int)
F[:,0] = 0
F[0,:] = 0
# 递推 转移方程：F_k(y) = F_k(y-x) + v_k
for y in range(1,b+1):
for k in range(1,n+1):
F[k, y] = F[k-1, y]
info[k, y] = info[k-1, y]
if (y-w[k-1] >= 0) & ( F[k-1, y-w[k-1]]+v[k-1] > F[k, y]):
F[k, y] = F[k-1,y-w[k-1]] + v[k-1]
info[k, y] = k
# 追踪结果
x = np.zeros(n, dtype=int)
max_value = F[-1,-1]
k = info[-1,-1]
leftb = b
while k > 0:
x[k-1] = 1
leftb = leftb - w[k-1]
k = info[k-1, leftb]
# 输出
return x, max_value
- 测试用例
v = np.random.randint(1,100,1000,dtype=int)
w = np.random.randint(1,100,1000,dtype=int)
b = int(w.sum()*0.4)
x, max_value = dynamicAlgorithm_Knapscak(w, v, b)
print(x.sum(), max_value)
解二维背包问题
def dynamicAlgorithm_Knapscak(w, v, b):
"""
w: 物品的重量和体积 多维数组，dtype int
v: 物品的价值 dtype int
b: 最大体积和最大重量
F_k(y) = F_k(y-x) + v_k
"""
if len(w[0])!=len(v):
print('请检查输入')
return -1,0
# 边界条件
n = len(v)
F = np.zeros((n+1, b[0]+1, b[1]+1), dtype=int)
info = np.zeros((n+1, b[0]+1, b[1]+1), dtype=int) # 装入的物品的最大标号
# 递推
for k in range(1,n+1):
for y1 in range(1,b[0]+1):
if (y1-w[0,k-1] >= 0):
for y2 in range(1,b[1]+1):
F[k, y1, y2] = F[k-1, y1, y2]
info[k, y1, y2] = info[k-1, y1, y2]
if (y2-w[1,k-1] >= 0):
if F[k-1, y1-w[0,k-1], y2-w[1,k-1]] + v[k-1] > F[k, y1, y2]:
F[k, y1, y2] = F[k-1, y1-w[0,k-1], y2-w[1,k-1]]+v[k-1]
info[k, y1, y2] = k
else:
F[k, y1, :] = F[k-1, y1, :]
info[k, y1, :] = info[k-1, y1, :]
# 追踪结果
x = np.zeros(n, dtype=int)
max_value = F[-1, -1, -1]
k = info[-1, -1, -1]
leftw = b[0]
leftc = b[1]
while k > 0:
x[k-1] = 1
leftw = leftw - w[0, k-1]
leftc = leftc - w[1, k-1]
k = info[k-1, leftw, leftc]
# 输出
return x, max_value
- 测试用例
w = np.random.randint(1,60,(2,1000),dtype=int)
b = [120,120]
v = np.random.randint(2,5000,1000,dtype=int)
x, max_value = dynamicAlgorithm_Knapscak(w, v, b)
print('x = :',x, '\n max_value=', max_value)
- 伪多项式变换时间算法近似求解背包问题（屈婉玲： 算法设计与分析p262）
- 对偶 + 让所有的物品的重量缩小一定倍数，并取整
参考资料：
- 屈婉玲： 算法设计与分析
求一个向量中的第k小的元素
def partition(nums,l,r):
k = random.randint(l+1,r)
nums[l], nums[k] = nums[k], nums[l]
i = l+1 # [l+1, i) <= nums[l]
j = r # (j, r] > nums[l]
while True:
while (i <= r) and (nums[i] < nums[l]):
i +=1
while (j >= l+1) and nums[j] > nums[l]:
j -=1
if i > j:
break
nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
i +=1
j -=1
nums[l],nums[j] = nums[j], nums[l]
return j
def findKthMinest(nums, kth):
l = 0; r = len(nums)-1
while True:
mid = partition(nums, l, r)
if mid+1 == kth:
return nums[mid]
elif mid+1 < kth:
l = mid+1
kth = kth-(mid+1)
else:
r = mid
参考资料：
整数规划的求解方法总结
精确解法中遗漏了分支定价算法，入门列生成法和分支定价算法可以阅读罗纳德《运筹学》（肖永波译）第二版第13章
参考资料：
