动态规划之矩阵链相乘问题（算法导论）
问题描述：
给定n个矩阵序列，(A1,A2,A3,A4,...,An). 计算他们的乘积：A1A2A3...An.
由于矩阵的乘法运算符合结合律，因而可以通过调整计算顺序，从而降低计算量。
样例分析：
比如有三个矩阵分别为：A1: 10*100,A2: 100*5,A3: 5*50
假如现在按照(A1A2)A3的顺序计算需要的计算量为：10*100*5+10*5*50=7500次运算。
若按照A1(A2A3)的顺序计算，需要的计算量为：100*5*50+10*100*50=75000次运算。
上面两种不同的运算顺序所有的计算量相差十倍。
因而，一种最优的计算顺序将能很大程度的减少矩阵连乘的运算量。
问题解析：
此问题的目的是寻找一种最优的括号化方案。下面用动态规划的思想来进行分析：
1、动态规划的第一步：寻找最优子结构。为方便起见，使用Ai..j表示AiAi+1...Aj的乘积结果矩阵。对于k(i<=k<j), 计算Ai..j所需要的计算量为：Ai..k 和 Ak+1..j 以及二者相乘的代价和。
2、设m[i][j]为Ai..j的最优计算顺序所要花费的代价。则其求解公式为：
if i == j, m[i][j] = 0; //因为只有一个矩阵时计算代码为0，即不需要计算。
m[i][j]=min{m[i][k] + m[k+1][j] + Pi-1PkPj} i<=k<j
3、为了能够输出求解顺序，需要保存区间中的一些分割点。假如Ai..j中的最优分割点为k，则我们使用s[i][j]=k。即在Ai..j中，分别计算Ai..k 和 Ak+1..j 所用的计算开销最小。
4、采用自底向上的表格法。依次求解矩阵长度为2,3,...,n的最优计算顺序。
算法思想：
1、对m[i][i]全部初始化为0.
2、在矩阵链A1..n中，依次计算长度len为2,3,...,n的m[i][j]大小。（j-i+1==长度len）.
3、对于长度为len的m[i][j]初始化为+∞。然后根据以下公式计算m[i][j]的最小值。
m[i][j]=min{ m[i][k] + m[k+1][j] + Pi-1PkPj }
由于比长度len小的m[i][k],m[k+1][j]都已经提前计算了出来。所以就可以计算出最小的m[i][j]，同时保存相应的最优点。如：s[i][j] = k; //k为i~j的最优计算分割点。
4、根据以上保存的结果，输出。
具体代码如下：（C代码）
<span style="font-size:18px;">/**
动态规划之矩阵链相乘，
输入：有N个矩阵连乘,用一行有n+1个数数组表示,表示是n个矩阵的行及第n个矩阵的列,它们之间用空格隔开.
输出：每组测试数据的输出占一行，它是计算出的矩阵最少连乘积次数，输出最优全括号结构
样例输入：10 100 5 50
上面一组数据分别代表： A1:10*100, A2:100*5, A3:5*50
样例输出：7500 ((A1A2)A3)
30 35 15 5 10 20 25 --> 15125 ((A1(A2A3))((A4A5)A6))
**/
#include <stdio.h>
int m[1002][1002],s[1002][1002];
void matrix_chain(int a[], int n)
{
int l, i, j, k, tmp;
for(l=2; l<=n; l++)
{
for(i=1; i<=n-l+1; i++) //长度为l的区间，其最小下标为1～n-l+1
{
j=i+l-1;
m[i][j] = 0x7fffffff;
for(k=i; k<j; k++) //i~k, k+1~j, 所以k<j
{
tmp = m[i][k]+m[k+1][j]+a[i-1]*a[k]*a[j];
if(tmp < m[i][j])
{
m[i][j] = tmp;
s[i][j] = k;
}
}
}
}
}
void print(int i, int j)
{
if(i == j)
printf("A%d",i);
else{
printf("(");
print(i, s[i][j]);
print(s[i][j]+1, j);
printf(")");
}
}
int main()
{
int n, a[1002];
int i,j,l;
while(scanf("%d",&n)==1) //输入有n个矩阵
{
for(i=0; i<n+1; i++)
scanf("%d",&a[i]);
//memset(m, 0x7fffffff,sizeof(m));
for(i=0; i<n+1; i++)
m[i][i] = 0;
matrix_chain(a, n);
printf("%d\n",m[1][n]);
print(1, n);
printf("\n");
}
return 0;
}
</span>
