动态规划之最长公共子序列（算法导论）

1、一些概念

子序列：就是将原序列中的0个或多个元素去掉之后得到的序列。子序列不一定在原序列中连续。比如：X={A,B,D,A,B,C}中的一个子序列可以为：{A,D,B},也可以是: {B,D,B,C}。

2、问题描述

现有两个序列分别为：X={x1,x2,...,xm}和Y={y1,y2,...,yn}.求X和Y的长度最大的公共子序列。

3、问题解析

要寻找X和Y的最长公共子序列，可以从前往后找，也可以从后向前找，若存在多个长度相同的最长公共子序列，则这两种方法找出来的序列可能不一样，但都是最长的公共子序列。

现在主要介绍从后向前找的方法，从前向后找也类似。对于两个序列X和Y，长度分别为：len1和len2，假设其最长公共子序列为Z，其长度为len，查找过程如下：

1）若x[len1]==y[len2]，则将x[len1]赋给z[len]，然后X和Y同时向前移动一个位置。

2）若X[len1]!=Y[len2]，且X[len1] != Z[len]，这时X[len1-1]和Y的最长公共子序列为Z。

3）若X[len1] != Y[len2]，且Y[len2] != Z[len]，这时X和Y[len2-1]的最长公共子序列为Z。

在此，我们使用数组C[i, j]来表示X[i]和Y[j]的最长公共子序列的长度。则Z的长度为C[len1, len2]。根据以上分析，我们可以得出

if i==0 or j==0, 则c[i, j]=0;

if i,j >0 且xi == yj，则c[i, j] = c[i-1, j-1]+1;

if i,j >0 且xi != yj，则c[i, j] = max{c[i-1, j], c[i, j-1];

4、代码实现如下：

<span style="font-size:18px;">#include <stdio.h>
#include <string.h>
int c[1024][1024];
int lcs_length(char *str1, char *str2, int len1, int len2)
{
	int maxlen, i, j;
	int m = len1>len2?len1:len2;
	for(i=0; i<m; i++)
	{
		c[i][0] = 0;
		c[0][i] = 0;
	}
	//bottom --> up
	for(i=1; i<=len1; i++)
		for(j=1; j<=len2; j++)
		{
			if(str1[i-1] == str2[j-1])
			{
				c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;
			}
			else if(c[i-1][j] > c[i][j-1])
			{
				c[i][j] = c[i-1][j];
			}
			else
			{
				c[i][j] = c[i][j-1];
			}
		}
	maxlen = c[len1][len2];
	return maxlen;
}
//Time: O(len1+len2)
void lcs_print(char *str1, int len1, int len2)
{
	if(len1 ==0 || len2 == 0)
		return ;
	if(c[len1][len2] == c[len1-1][len2])
	{
		lcs_print(str1, len1-1, len2);
	}
	else if(c[len1][len2] == c[len1][len2-1])
	{
		lcs_print(str1, len1, len2-1);
	}
	else
	{
		lcs_print(str1, len1-1, len2-1);
		printf("%c",str1[len1-1]);
		//lcs_print(str1, len1-1, len2-1);
	}
}
int main()
{
	freopen("in.lcs", "r", stdin);
	int maxlen, len1, len2;
	char str1[1024], str2[1024];
	while(scanf("%s %s", str1, str2) == 2)
	{
		len1 = strlen(str1);
		len2 = strlen(str2);
		maxlen = lcs_length(str1, str2, len1, len2);
		printf("lcs: %d\n",maxlen);
		lcs_print(str1, len1, len2);
		printf("\n\n");
	}

	return 0;
}
</span>