B-树
1、B-树的定义
一棵m(m≥3)阶的B-树是满足如下性质的m叉树:
(1)每个结点至少包含下列数据域:
(j,P0,Kl,P1,K2,…,Ki,Pi)
其中:
j为关键字总数
Ki(1≤i≤j)是关键字,关键字序列递增有序:K1
<K2<…<Ki。
Pi(0≤i≤j)是孩子指针。对于叶结点,每个Pi为空指针。
注意:
①实用中为节省空间,叶结点中可省去指针域Pi,但必须在每个结点中增加一个标志域leaf,其值为真时表示叶结点,否则为内部结点。
2、B-树的结点规模
在大多数系统中,B-树上的算法执行时间主要由读、写磁盘的次数来决定,每次读写尽可能多的信息可提高算法得执行速度。
B-树中的结点的规模一般是一个磁盘页,而结点中所包含的关键字及其孩子的数目取决于磁盘页的大小。
3、B-树的存储结构
#define Max l000 //结点中关键字的最大数目:Max=m-1,m是B-树的阶 #define Min 500 //非根结点中关键字的最小数目:Min=┌m/2┐-1 typedef int KeyType; //KeyType应由用户定义 typedef struct node{ //结点定义中省略了指向关键字代表的记录的指针 int keynum; //结点中当前拥有的关键字的个数,keynum《Max KeyType key[Max+1]; //关键字向量为key[1..keynum],key[0]不用。 struct node *parent; //指向双亲结点 struct node *son[Max+1];//孩子指针向量为son[0..keynum] }BTreeNode; typedef BTreeNode *BTree;
注意:
为简单起见,以上说明省略了辅助信息域。在实用中,与每个关键字存储在一起的不是相关的辅助信息域,而是一个指向另一磁盘页的指针。磁盘页中包含有该关键字所代表的记录,而相关的辅助信息正是存储在此记录中。
B-树上的基本运算
1、B-树的查找
(1)B-树的查找方法
在B-树中查找给定关键字的方法类似于二叉排序树上的查找。不同的是在每个结点上确定向下查找的路径不一定是二路而是keynum+1路的。
(2)B-树的查找算法
BTreeNode *SearchBTree(BTree T,KeyType K,int *pos) { //在B-树T中查找关键字K,成功时返回找到的结点的地址及K在其中的位置*pos //失败则返回NULL,且*pos无定义 int i; T→key[0]=k; //设哨兵.下面用顺序查找key[1..keynum] for(i=T->keynum;K<t->key[i];i--); //从后向前找第1个小于等于K的关键字 if(i>0 && T->key[i]==1){ //查找成功,返回T及i *pos=i; return T; } //结点内查找失败,但T->key[i]<K<T->key[i+1],下一个查找的结点应为 //son[i] if(!T->son[i]) //*T为叶子,在叶子中仍未找到K,则整个查找过程失败 return NULL; //查找插入关键字的位置,则应令*pos=i,并返回T,见后面的插入操作 DiskRead(T->son[i]); //在磁盘上读人下一查找的树结点到内存中 return SearchBTree(T->Son[i],k,pos); //递归地继续查找于树T->son[i] }
(3)查找操作的时间开销
B-树上的查找有两个基本步骤:
①在B-树中查找结点,该查找涉及读盘DiskRead操作,属外查找;
②在结点内查找,该查找属内查找。
查找操作的时间为:
①外查找的读盘次数不超过树高h,故其时间是O(h);
②内查找中,每个结点内的关键字数目keynum<m(m是B-树的阶数),故其时间为O(nh)。
(4)B-树的生成
由空树开始,逐个插入关键字,即可生成B-树。
【例】以关键字序列(a,g,f,b,k,d,h,m,i,e,
s,i,r,x,c,l,n,t,u,p)建立一棵5阶B-树的生长过程【参见动画演示】
3、B-树的删除
(1)删除操作的两个步骤
第一步骤:在树中查找被删关键字K所在的地点
第二步骤:进行删去K的操作
删除5阶B-树的h、r、p、 d等关键字的过程【参见动画演示】。