二叉排序树

1、二叉排序树的定义
　　二叉排序树(Binary Sort Tree)又称二叉查找(搜索)树(Binary Search Tree)。其定义为：二叉排序树或者是空树，或者是满足如下性质的二叉树：
①若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
②若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；
③左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。
　　上述性质简称二叉排序树性质(BST性质)，故二叉排序树实际上是满足BST性质的二叉树。

2、二叉排序树的特点
　　由BST性质可得：
　　（1） 二叉排序树中任一结点x，其左(右)子树中任一结点y(若存在)的关键字必小(大)于x的关键字。
　　（2） 二叉排序树中，各结点关键字是惟一的。
  注意：
　　实际应用中，不能保证被查找的数据集中各元素的关键字互不相同，所以可将二叉排序树定义中BST性质(1)里的"小于"改为"大于等于"，或将BST性质(2)里的"大于"改为"小于等于"，甚至可同时修改这两个性质。

3、二叉排序树的存储结构

typedef int KeyType； //假定关键字类型为整数
typedef struct node { //结点类型
  KeyType key； //关键字项
  InfoType otherinfo； //其它数据域，InfoType视应用情况而定，下面不处理它
  struct node *lchild，*rchild； //左右孩子指针
} BSTNode；
typedef BSTNode *BSTree； //BSTree是二叉排序树的类型 

4、二叉排序树上的运算

（1） 二叉排序树的插入和生成
①二叉排序树插入新结点的过程
　　在二叉排序树中插入新结点，要保证插入后仍满足BST性质。其插入过程是：
　　(a)若二叉排序树T为空，则为待插入的关键字key申请一个新结点，并令其为根；
　　(b)若二叉排序树T不为空，则将key和根的关键字比较：
       　　(i)若二者相等，则说明树中已有此关键字key，无须插入。
       　　(ii)若key<T→key，则将key插入根的左子树中。
       　　(iii)若key>T→key，则将它插入根的右子树中。
　　子树中的插入过程与上述的树中插入过程相同。如此进行下去，直到将key作为一个新的叶结点的关键字插入到二叉排序树中，或者直到发现树中已有此关键字为止。

③二叉排序树插入新结点的非递归算法

 void InsertBST(BSTree *Tptr，KeyType key)
      { //若二叉排序树 *Tptr中没有关键字为key，则插入，否则直接返回
        BSTNode *f，*p=*TPtr； //p的初值指向根结点
        while(p){ //查找插入位置
          if(p->key==key) return；//树中已有key，无须插入
          f=p； //f保存当前查找的结点
          p=(key<p->key)?p->lchild：p->rchild；
            //若key<p->key，则在左子树中查找，否则在右子树中查找
         } //endwhile
        p=(BSTNode *)malloc(sizeof(BSTNode))；
        p->key=key； p->lchild=p->rchild=NULL； //生成新结点
        if(*TPtr==NULL) //原树为空
           *Tptr=p； //新插入的结点为新的根
        else //原树非空时将新结点关p作为关f的左孩子或右孩子插入
          if(key<f->key)
            f->lchild=p；
          else f->rchild=p；
       } //InsertBST

④二叉排序树的生成
　　二叉排序树的生成，是从空的二叉排序树开始，每输入一个结点数据，就调用一次插入算法将它插入到当前已生成的二叉排序树中。生成二叉排序树的算法如下：

BSTree CreateBST(void)
   { //输入一个结点序列，建立一棵二叉排序树，将根结点指针返回
    BSTree T=NULL； //初始时T为空树
    KeyType key；
    scanf("％d"，&key)； //读人一个关键字
    while(key){ //假设key=0是输人结束标志
      InsertBST(&T，key)； //将key插入二叉排序树T
      scanf("％d"，&key)；//读人下一关键字
     }
    return T； //返回建立的二叉排序树的根指针
   } //BSTree

⑤二叉排序树的生成过程
　　由输入实例(5，3，7，2，4，8)，根据生成二叉排序树算法生成二叉排序树的过程【参见动画演示】
  注意：
　　 输入序列决定了二叉排序树的形态。

 

（2）二叉排序树的删除
    　从二叉排序树中删除一个结点，不能把以该结点为根的子树都删去，并且还要保证删除后所得的二叉树仍然满足BST性质。

①删除操作的一般步骤
(1) 进行查找
    　查找时，令p指向当前访问到的结点，parent指向其双亲(其初值为NULL)。若树中找不到被删结点则返回，否则被删结点是*p。
(2) 删去*p。
    　删*p时，应将*p的子树(若有)仍连接在树上且保持BST性质不变。按*p的孩子数目分三种情况进行处理。

②删除*p结点的三种情况
(1)*p是叶子(即它的孩子数为0)
    　无须连接*p的子树，只需将*p的双亲*parent中指向*p的指针域置空即可。

(2)*p只有一个孩子*child
    　只需将*child和*p的双亲直接连接后，即可删去*p。
  注意：
    　*p既可能是*parent的左孩子也可能是其右孩子，而*child可能是*p的左孩子或右孩子，故共有4种状态，具体【参见动画演示】。

(3)*p有两个孩子
    　先令q=p，将被删结点的地址保存在q中；然后找*q的中序后继*p，并在查找过程中仍用parent记住*p的双亲位置。*q的中序后继*p一定是*q的右子树中最左下的结点，它无左子树。因此，可以将删去*q的操作转换为删去的*p的操作，即在释放结点*p之前将其数据复制到*q中，就相当于删去了*q。具体【参见动画演示】。

③二叉排序树删除算法
分析：
    　上述三种情况都能统一到情况(2)，算法中只需针对情况(2)处理即可。
    　注意边界条件：若parent为空，被删结点*p是根，故删去*p后，应将child置为根。
算法： 

void DelBSTNode(BSTree *Tptr，KeyType key)
 {//在二叉排序树*Tptr中删去关键字为key的结点
  BSTNode *parent=NUll，*p=*Tptr，*q，*child；
  while(p){ //从根开始查找关键字为key的待删结点
    if(p->key==key) break；//已找到，跳出查找循环
    parent=p； //parent指向*p的双亲
    p=(key<p->key)?p->lchild：p->rchild； //在关p的左或右子树中继续找
   }
  if(!p) return； //找不到被删结点则返回
  q=p； //q记住被删结点*p
  if(q->lchild&&q->rchild) //*q的两个孩子均非空，故找*q的中序后继*p
    for(parent=q，p=q->rchild； p->lchild； parent=p，p=p=->lchild)；
  //现在情况(3)已被转换为情况(2)，而情况(1)相当于是情况(2)中child=NULL的状况
    child=(p->lchild)?p->lchild：p->rchild；//若是情况(2)，则child非空；否则child为空
    if(!parent) //*p的双亲为空，说明*p为根，删*p后应修改根指针
      *Tptr=child； //若是情况(1)，则删去*p后，树为空；否则child变为根
    else{ //*p不是根，将*p的孩子和*p的双亲进行连接，*p从树上被摘下
      if(p==parent->lchild) //*p是双亲的左孩子
        parent->lchild=child； //*child作为*parent的左孩子
      else parent->rchild=child； //*child作为 parent的右孩子
      if(p!=q) //是情况(3)，需将*p的数据复制到*q
        q->key=p->key； //若还有其它数据域亦需复制
     } //endif
    free(p)； /释放*p占用的空间
  } //DelBSTNode

 

二叉排序树的删除运算实例具体参见【动画演示】 

 

（3） 二叉排序树上的查找
①查找递归算法
    　在二叉排序树上进行查找，和二分查找类似，也是一个逐步缩小查找范围的过程。
递归的查找算法：

BSTNode *SearchBST(BSTree T，KeyType key)
  { //在二叉排序树T上查找关键字为key的结点，成功时返回该结点位置，否则返回NUll
    if(T==NULL||key==T->key) //递归的终结条件
      return T； //T为空，查找失败；否则成功，返回找到的结点位置
    if(key<T->key)
      return SearchBST(T->lchild，key)；
    else
      return SearchBST(T->rchild，key)；//继续在右子树中查找
   } //SearchBST

②算法分析
　    在二叉排序树上进行查找时，若查找成功，则是从根结点出发走了一条从根到待查结点的路径。若查找不成功，则是从根结点出发走了一条从根到某个叶子的路径。