乘法逆元

乘法逆元

用途

在$oi$比赛中，比较常用的算法就是快速幂了，但是快速幂有一定的缺点比如他只能处理乘法，加法，减法，唯独不能处理除法，也很令人麻烦，此时就需要用到逆元的操作了,此若$ax\equiv1 (mod~{b})，且$$a$与$b$互质，那么我们就能定义: $x$为($a$)的逆元，记为$a^{-1}$，所以我们也可以称$x$为$a$的倒数，当我们快速幂的时候如果遇到$\frac{a}{b}mod~~m$的情况，就可以将$\frac{1}{b}$换成$b$关于$m$逆元即$b'$,这样就可以进行快速幂的运算了。

求法

乘法逆元共三种情况，每种情况都有其特有的优缺点。

1. 首先就是采用扩展欧几里得的方法来求同余方程，$ax \equiv 1(mod~ b)$这个式子可以等价于$ax+by=1$这个方程的解，所以我们只需求出$x$来就行。 (比较通用)

2. 其次就是采用费马小定理+快速幂来求，但是这个条件比较苛刻，需要上文中的$b$是个质数，这时我们根据费马小定理可以得出$a^{b-1}\equiv 1(mod~b)$ —> $a * a^{b-2} \equiv 1(mod~b)$ 此时$x$就是$a^{b-2}$就是逆元，此时就可以用快速幂来解了。但是这个还是有点慢，不过在比赛中一般模数都是质数，所以也比较常用。

3. 当要处理比较多的数的时候，可以采用线性推的方法，这个在求多个数的逆元上比较舒服。首先我们需要推一下，首先我们有一个,$1 ^ {-1}\equiv 1(\bmod p)$然后设$p=k*i+r,r<i,1<i<p$,再将这个式子放到$\bmod {p}$意义下就会得到：

   $k*i+r \equiv 0 (\bmod p)$

   然后乘上$i^{-1}*r^{-1}$就可以得到:

   $k*r^{-1}+i^{-1}\equiv 0 (\bmod p)$

   $i^{-1}\equiv -k*r^{-1} (\bmod p)$

   $i^{-1}\equiv -\lfloor \frac{p}{i} \rfloor*(p \bmod i)^{-1} (\bmod p)$

   这种题不太常见，一般出现在多种数据之中，比如洛谷的模板