洛谷P2657 [SCOI2009]windy数

题目

数位$DP$

数位$DP$一般用于对满足一个什么条件的数的个数进行计数，且该数的数据范围很大的问题进行求解。这种题的状态一般都跟长度、限制条件、最高位上的数有关。

本题的状态为：$dp[i][j]$为长度为$i$的，最高位为$j$的$windy$数个数。

此状态有个非常简单的递推式，$dp[i][j]=\sum{dp[i-1][k]}(abs(j-k)<=2)$

然后我们用函数$solv(a)$返回$1$到$a-1$的所有$windy$数的个数，最终答案即为$solv(b+1)-solv(a)$的值。

考虑$solv$函数该如何写，现将$a$逐位分解，求出$len$个数，然后将长度比$len$小无论最高位不为$0$的(因为不含前导零)$dp$值都加上，因为他们肯定都属于$1$到$a-1$之中，然后再加上长度为$len$且最高位比$j$小的$windy$数个数，然后此时我们存在漏解的情况，我们还少长度为$len$且最高位跟$j$相同，但是又比$a$小的$windy$数个数，因为此时len为位是相同的，所以我们直接枚举len-1到1位，每次确定一位然后加上当前枚举位的dp值，如果当前位在枚举完了之后确定以后跟上一位相差小于二，则break，因为此位已确定且已经不满足条件了。

//long long，inline后加函数类型
//关键字：y1,time,tm,end,next,hash, j0,j1,jn,y0,yn,_end会re;
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
long long A, B;
int dp[1001][1001], temp[1001], len;//dp[i][j]代表长度i，最高位为j的windy数个数(注意是最高位)
void init()
{
	for (int i = 0; i <= 9; i++)
		dp[1][i] = 1;
	for (int i = 2; i <= 10; i++)
		for (int j = 0; j <= 9; j++)
			for (int k = 0; k <= 9; k++)
				if (abs(j - k) >= 2)
					dp[i][j] += dp[i - 1][k];
}
long long solv(int a)//返回n的数
{
 	memset(temp, 0, sizeof(temp));
 	len = 0;
	int ans = 0;
 	while (a)
 		temp[++len] = a % 10, a /= 10;
 	for (int i = 1; i <= len - 1; i++)//求len-1位的符合条件的windy数。 
 		for (int j = 1; j <= 9; j++)
 			ans += dp[i][j];
 	for (int j = 1; j < temp[len]; j++)
 		ans += dp[len][j];
 	for (int i = len - 1; i >= 1; i--)//求len-1所有跟a相差不大的数。 
 	{
 		for (int j = 0; j < temp[i]; j++)
 			if ( abs(j - temp[i + 1]) >= 2)
 				ans += dp[i][j];
 		if (abs(temp[i] - temp[i + 1]) < 2) break;//只要有一次相邻的两个数不满足则不需要再向下继续搜索下去了。 
 	}
 	return ans;
}
signed main()
{
 	init();
 	scanf("%lld%lld", &A, &B);
 	printf("%lld",  solv(B + 1) - solv(A));
 	return 0;
}