UVA - 11582 Colossal Fibonacci Numbers! 数学

http://vjudge.net/problem/UVA-11582

http://acdream.info/problem?pid=1060

首先证明下为什么暴力枚举n^2项以后就一定会重复。

我们说如果fib数列重复，只需要fib[i - 1] == f[0] && fib[i] == fib[1]

 

很明显，因为是加法，数值一样后MOD后也一定一样。所以后面的就开始循环了。

因为mod后的数的种类有n种，那么，要使得fib(i - 1) == fib(0)的概率是1 / n，那么两个都要相等的话，就是1 / (n * n)

所以，至少需要枚举n * n这么多个二元对(fib(i - 1), fib(i))，就一定会出现相等。

所以暴力枚举n * n项，一共有n * n - 1个二元对。

A\B\C\D

AB\BC\CD  3个二元对。当然，可以用上fib(1)，所以就是n * n对了。

 

hack

1、数据2^64用ULL，这个不算很大的bug

2、当MOD数是1的时候，f[1] = 0。hack

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <assert.h>
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
#define inf (0x3f3f3f3f)
typedef long long int LL;


#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <string>
typedef unsigned long long int ULL;
ULL fib[1000 * 1000 + 20];
ULL quick_pow(ULL a, ULL b, ULL MOD) {
    ULL ans = 1;
    ULL base = a % MOD;
    while (b) {
        if (b & 1) {
            ans = ans * base;
            if (ans >= MOD) ans %= MOD;
        }
        b >>= 1;
        base = base * base;
        if (base >= MOD) base %= MOD;
    }
    return ans;
}
void work() {
//    cout << quick_pow(2, 10, 1025) << endl;
//    printf("%d\n", quick_pow(2, 10, 1000000));
    ULL a, b, n;
    cin >> a >> b >> n;
    fib[0] = 0 % n;
    fib[1] = 1 % n;
    ULL cir = inf;
    for (int i = 2; i <= n * n + 3; ++i) {
        fib[i] = (fib[i - 1] + fib[i - 2]) % n;
        if (fib[i - 1] == fib[0] && fib[i] == fib[1]) {
            cir = i - 2 + 1;
            break;
        }
    }
//    cout << cir << "***" << endl;
    ULL res = quick_pow(a, b, cir);
//    printf("%d\n", fib[res]);
    cout << fib[res] << endl;
}

int main() {
#ifdef local
    freopen("data.txt", "r", stdin);
//    freopen("data.txt", "w", stdout);
#endif
    IOS;
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) work();
    return 0;
}