关于图的割点

在一个无向图中，若删除某一个节点，使得图分成若干个不相联通的子图，那么，这个节点就是图的割点。就像下图所示：

节点1、节点3和节点4，都是这个图的割点。为什么呢？你想啊，把节点1、节点3和节点4遮住，会怎么样？节点2永远也没法去到6 5 8 7 那些，同理，遮住节点4后，7,8也没法去到6 5 了。这样，就形成了一个个独立子图了。

那么，我们怎么知道这个点，就是割点呢？

①、用两个DFS，删除某个节点后，对其后面的节点进行DFS,如果在【不同过该节点】的情况下，不能回到以前的节点，那么，被删除的节点就是割点啦。删除？怎么删除，其实只需一个book数组，book[i]=1;DFS后，book[i]=0;就OK 啦。。起到一个临时标记，也就起到了"删除"的效果了。最后，book[i]=0;是要把删除的节点补回来。我们没理由弄破一个图吧?   ￣□￣｜｜  最后，该算法的复杂度是O(N(N+M)); 怎样？很复杂吧？有没有其他优秀的算法呢？

②、只需一个DFS，不过要增加两个数组:

一个是num[];//记录的是这个顶点在遍历时，是第几个被访问到的

一个是low[];//表示一个节点，在不经过其父亲时，能回到最早的祖先是谁

::>_<:: 。。什么是父亲？祖先又是谁？这里我们把问题抽象化一下，在上图中，假设我们从1号顶点开始DFS，那么，1顶点能直接去到的顶点，我们称其为1号顶点的儿子，那么，一号顶点就是其父亲。这里需要记住一点：【父亲的num[i]】总是比儿子的少，因为辈分越大，数值越小，我们可以理解为，我爷爷是第一代传人，爸爸是第二代，我是第三代。记住这点很重要哦⊙▂⊙。

那么，假如一个顶点cur，在不经过其父亲顶点father的时候，总能回到更早的顶点（father的祖先），那么，这个father就不是割点。就比如图中的5号顶点，（根据上面，此时的father=5，cur=4）,如果删除了5号顶点，cur还是能够通过6号顶点回到3顶点，甚至能回到1号顶点，此时，cur就能回到father的祖先了，此时，father=5并不是图的割点。

相反，如果一个顶点cur，在不经过其父亲顶点father的时候，总不能回到更早的顶点（father的祖先），那么，这个father就是割点啦！比如图中的4号顶点。

那么，我们怎么判断它不能回到自己【父亲的祖先呢】？其实只需要low[cur]>=num[father];就是，儿子能回到最早的祖先，最多最多，也只是它的爸爸。也就是，我不问过我爸爸，我连我爷爷是谁都不知道，那么，爸爸起到连通我和我爷爷的作用，所以，我爸爸就是割点了。￣□￣｜｜。  我们再来形象理解下这句代码low[cur]>=num[father];我们用辈分来论事，记得我上面说过一句话很重要的吗？拉上去看看吧。这里，我先说个小故事。

话说，在古代，风家人才辈出，能才能武，祖祖祖祖祖祖祖祖爷也还在世上。￣□￣｜｜。要知道，在这些高人辈出的家族里，有些长辈不是你想见就能见的，有些族人一生在世，没见过爷爷一面也有可能，因为高手一般都是闭关的。。但是如果经过父亲的推荐，那就不同了。一般儿子是绝对知道自己的父亲的,这点不用我说了吧。￣□￣｜｜。所以cur的father就向他的父亲（就是cur的爷爷）说：我儿子cur天生神力，资质颇高，父亲你就点拔他一些武功吧，爷爷说，"哦，好好好，报名费5000大洋！"这样，cur就能知道他爷爷是谁了。但是，如果cur的父亲father不是伯乐，不知道cur是千里马，那就麻烦了，cur会被埋没的。就这样，cur一辈子平平淡淡，真是伤仲永哇，cur的父亲father，成了cur的"割点"了，就是，cur在不经过他爸爸father的推荐下，不能知道他的爷爷，爷爷爷，爷爷爷爷是谁，那么此时，cur只认识他的爸爸。说来说去，你还没告诉我low[cur]>=numer[father]是什么嘛！我该怎么判断cur是否只认识他爸爸呢？（请把这两句话看3遍）。没错，你想到了，low[cur]>=number[father];就是表明cur最多只认识他的爸爸。low[cur]==number[father]的时候，就表明cur知道自己的爸爸。为什么是？>=而不是<=呢？我们看看辈分？爷爷是第一辈，爸爸是第二辈，我是第三辈。如果我知道我爷爷是谁，low[cur]=1了，而number[father]=2;此时，low[cur]<number[father]。也就说明我能去到爷爷，father不是割点。

number[]//其实number代表的是自己的辈分，

low[];//代表我能认识到最老的长辈。注意，越老，值越小。因为辈分是1

说了那么多，我们来看看完整的代码？

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int n,m;//n代表有多少个节点，m代表有多少条边
//要注意m>=n-1最小也要有n-1条边才能把图接上
int e[51][51];//用邻接表来存一个图
int num[51],low[51];
int flag[51];//用来表示哪一个是割点
int root;//根节点。
int first;//表示一开始num和low的值
int min (int x,int y)
{
	return x>y?y:x;
}
void dfs (int cur,int father)
{
        int child=0;//代表cur有多少个儿子
        int i;//用来循环的而已
	first++;//这个我们称为时间戳
	num[cur] = first;//刚开始的辈分
	low[cur] = first;//刚开始能访问到的，只能是自己
	for (i=1;i<=n ;i++ )//循环一个图
	{
        if (e[cur][i]==1)//如果cur去i是有路的
        {
			if (num[i]==0)//就是i还没被访问过。先跳去看else
			{
				child++;//儿子数+1
				dfs (i,cur);//分清楚谁是爸爸，谁是儿子，此时很
				//明显cur是i的爸爸
				
				//结束dfs后
				low [cur] = min(low[cur],low[i]);//更新我和儿子能访问到的人
				//如果我儿子能访问到我太爷，但是我爸爸又不推荐我去见我太爷
				//那么，我可以通过儿子去见啊，父之命，能不从？

				if (cur != root && low[i]>=num[cur])
				//此时儿子是i 父亲是cur
				//如果我不是第一辈的人，并且，我的儿子是渣渣,失去我的推荐后
				//自己不能去到我的爸爸或者更早的人
				//那么，我成了我儿子的割点了
				//其实究竟是我伤仲永，还是我儿子本来就不是千里马呢?哈哈
				//有些东西，一个巴掌拍不响
				{
					flag[cur] = 1;//我是割点
				}
				if (cur == root &&child==2)
			    //如果我是第一辈，并且我有两个儿子
				{
					flag[cur]=1;
				}
			}
			else if (i!=father)//如果节点i被访问过
//但是，这个i不是cur的父亲father。我们动起笔，模拟一下这个过程
//首先（先不看1-->2）1-->3,到3的dfs，for循环中，第一个值i=1，就是
//3访问他父亲了，这是没意思的，但是我们又不能book标记它，这样会造成很多
//节点访问不到的，所以，如果访问到的节点是父亲，我们不做任何事情。
//就是上面else if不成立，但是，如果不是呢？就是6能去到3了，而6号的父亲是
//4啊。。那么，恭喜你，你拜见了你的爷爷爷 爷了，快去拜师吧
			{
				low[cur] = min(low[cur],num[i]);//拜师中
				//注意此时的cur是6，i是3
				//就是，cur去到的辈分的i的辈分
				//也就是num[i]。当然low[cur]比num[i]更小就另当别论了
				//也就是cur见到了太太太爷。。。哇靠！神人啊。
				//太爷出来见他
			}
        }
	}
}
void work()
{
	scanf ("%d%d",&n,&m);
	int i,j;
	for (i=1;i<=n ; i++)
	{
		for (j=1;j<=n ;j++ )
		{
			e[i][j] = 0;//初始化一个图
		}
	}
	for (i=1;i<=m ;i++ )
	{
		int u,v;
		scanf ("%d%d",&u,&v);
		e[u][v] = 1;//表示有路可去
		e[v][u] = 1;//无向图嘛
	}
	root=1;//先把root设置成1
	dfs (1,root);//从节点1开始，把节点1当成是根节点
	for (i=1;i<=n ;i++ )
	{
		if (flag[i])
		{
			printf ("%d ",i);//输出割点
		}
	}
	return ;
}
int main()
{
	work();//调用一个函数来分担主函数的代码
	return 0;
}

　　对了，我还没说过child和root的事情,root代表的是祖爷（第一代传人，就是家主）。因为家主没可能成为其儿子的割点啊，家主都没父亲(他从石头爆出来的)，那么1为什么还是割点啊，这里他是妨碍了自己的儿子见面，他的儿子也是的，师兄都不见面，各立一派吗？哦，对哦，家主之位，岂能乱传？所以，一般古代那些皇帝的儿子，都是闹不和的，为什么？大家都想自己的爸爸给皇帝位给我啊。!!!

child代表的是儿子，要注意，这里的child==2不代表家主只有一个儿子，代表的是，家主闹不和的儿子达到了两个，家主就是割点了。。最后，希望我们能动笔把每次dfs都写出来，这样，理解起来，更加的好、、

本人初出茅庐，有什么不正确的地方，希望朋友们能指教下，我感激不尽。。共同努力