[Vo. 1 No. 1] 高等代数一题[Sep. 19, 2013]

$Problem .$   设 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 为互不相同的正实数, 证明矩阵 $A=\left(\frac{1}{a_i+a_j}\right)_{n\times n}$ 为正定矩阵.

 

$Solution\text{ 1}.$ For any $X=(x_1,\cdots,x_n)^\mathrm{T}\neq 0$, we have
\begin{eqnarray*}
X^\mathrm{T}AX
&=& \sum_{i,j=1}^n \frac{x_ix_j}{a_i+a_j}
= \sum_{i,j=1}^n \int_0^{\infty} x_ix_j \mathrm{e}^{-(a_i+a_j)t} \mathrm{d}t \\
&=& \int_0^{\infty} \left( \sum_{j=1}^n x_j \mathrm{e}^{-a_jt}\right)^2 \mathrm{d}t
> 0.
\end{eqnarray*}

 

$Solution\text{ 2}.$  设$f_j(t)=t^{a_j-\frac{1}{2}},j=1,\cdots,n,$ 由于$a_1,a_2,\cdots,a_n$互不相同, 所以$f_1(t),f_2(t),\cdots,f_n(t)$构成线性空间\(
W= \mathrm{span} \{f_1(t),f_2(t),\cdots,f_n(t)\}\)的一组基, 定义内积：$\langle f,g \rangle := \int_0^1 f(t)g(t)\mathrm{d}t$
则
\[
\mathrm{ent}_{ij}(A)=\frac{1}{a_i+a_j}
= \int_0^1 f_i(t)f_j(t)\mathrm{d}t
= \langle f_i,f_j \rangle
\]
于是, 矩阵 $A$ 为基 $f_1(t),f_2(t),\cdots,f_n(t)$ 的度量矩阵, 故 $A$ 正定.

$Solution\text{ 3}.$ 注意到 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子式均为 Cauchy 行列式, 直接计算可知

\[
\left|
\begin{array}{cccc}
\frac{1}{a_1+a_1} & \frac{1}{a_1+a_2} & \cdots & \frac{1}{a_1+a_k} \\
\frac{1}{a_2+a_1} & \frac{1}{a_2+a_2} & \cdots & \frac{1}{a_2+a_k} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{1}{a_k+a_1} & \frac{1}{a_k+a_2} & \cdots & \frac{1}{a_k+a_k} \\
\end{array}
\right| = \frac{\prod\limits_{1\leqslant j<i\leqslant k} (a_i-a_j)^2}
{\prod\limits_{1\leqslant i,j\leqslant k}(a_i+a_j)}
> 0,\quad k=1,2,\cdots,n.
\]

故 $A$ 正定.

 

注：矩阵 $A$ 的对称性是显然的, 以上解法中均省略了对称性的验证.