Bzoj 1426 收集邮票

1426: 收集邮票

Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 497  Solved: 410
[Submit][Status][Discuss]

Description

有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱。 现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

Input

一行,一个数字N N<=10000

Output

要付出多少钱. 保留二位小数

Sample Input

3

Sample Output

21.25

　　典型的烧脑题……

　　先打一个预防针，我们推这道题可能用1个小时，但是打只要1分钟。

　　我们设g[i]为初始我们手里有i枚邮票的期望购买次数，那么我们可以得到

　　　　g[i]=g[i+1]+n/(n-i)

　　为什么是这样呢？我们由i枚邮票买一次买到i+1枚邮票的概率是(n-i)/n，那么，我们通俗点说，如果我们有百分之1 的几率买彩票中奖，可以理解为买一百次有一次中奖（当然，这是错误的，但是思路差不多）。所以g[i]=g[i+1]+(n-i)/n。

　　我们设f[i][j]为初始有i枚邮票，下一次要花j块的花费，很明显，第二位我们只要j=1就可以了，其他没有必要保存。

　　然后我们只要把式子化简合并一下就可以得到

　　　　f[i]=f[i+1]+g[i+1]+g[i]*i/(n-i)+n/(n-i)　

　　　

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#define N 10005
using namespace std;
double f[N],g[N];
double n;
int main()
{
    scanf("%lf",&n);
    g[(int)n]=f[int(n)]=0.0;
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
    {
        g[i]=g[i+1]+n/(n-i);
        f[i]=f[i+1]+g[i+1]+g[i]*(double)i/(n-i)+n/(n-i);
    }
    printf("%.2lf\n",f[0]);
    return 0;
}