Bzoj 3813 奇数国 题解 数论+线段树+状压
3813: 奇数国
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Description
在一片美丽的大陆上有100000个国家,记为1到100000。这里经济发达,有数不尽的账房,并且每个国家有一个银行。某大公司的领袖在这100000个银行开户时都存了3大洋,他惜财如命,因此会不时地派小弟GFS清点一些银行的存款或者让GFS改变某个银行的存款。该村子在财产上的求和运算等同于我们的乘法运算,也就是说领袖开户时的存款总和为3100000。这里发行的软妹面额是最小的60个素数(p1=2,p2=3,…,p60=281),任何人的财产都只能由这60个基本面额表示,即设某个人的财产为fortune(正整数),则fortune=p1^k1*p2^k2*......p60^K60。
领袖习惯将一段编号连续的银行里的存款拿到一个账房去清点,为了避免GFS串通账房叛变,所以他不会每次都选择同一个账房。GFS跟随领袖多年已经摸清了门路,知道领袖选择账房的方式。如果领袖选择清点编号在[a,b]内的银行财产,他会先对[a,b]的财产求和(计为product),然后在编号属于[1,product]的账房中选择一个去清点存款,检验自己计算是否正确同时也检验账房与GFS是否有勾结。GFS发现如果某个账房的编号number与product相冲,领袖绝对不会选择这个账房。怎样才算与product不相冲呢?若存在整数x,y使得number*x+product*y=1,那么我们称number与product不相冲,即该账房有可能被领袖相中。当领袖又赚大钱了的时候,他会在某个银行改变存款,这样一来相同区间的银行在不同的时候算出来的product可能是不一样的,而且领袖不会在某个银行的存款总数超过1000000。
现在GFS预先知道了领袖的清点存款与变动存款的计划,想请你告诉他,每次清点存款时领袖有多少个账房可以供他选择,当然这个值可能非常大,GFS只想知道对19961993取模后的答案。
Input
第一行一个整数x表示领袖清点和变动存款的总次数。
接下来x行,每行3个整数ai,bi,ci。ai为0时表示该条记录是清点计划,领袖会清点bi到ci的银行存款,你需要对该条记录计算出GFS想要的答案。ai为1时表示该条记录是存款变动,你要把银行bi的存款改为ci,不需要对该记录进行计算。
Output
输出若干行,每行一个数,表示那些年的答案。
Sample Input
6
013
115
013
117
013
023
013
115
013
117
013
023
Sample Output
18
24
36
6
explanation
初始化每个国家存款都为3;
1到3的product为27,[1,27]与27不相冲的有18个数;
1的存款变为5;
1到3的product为45,[1,45]与45不相冲的有24个数;
1的存款变为7;
1到3的product为63,[1,63]与63不相冲的有36个数;
2到3的product为9,[1,9]与9不相冲的有6个数。
24
36
6
explanation
初始化每个国家存款都为3;
1到3的product为27,[1,27]与27不相冲的有18个数;
1的存款变为5;
1到3的product为45,[1,45]与45不相冲的有24个数;
1的存款变为7;
1到3的product为63,[1,63]与63不相冲的有36个数;
2到3的product为9,[1,9]与9不相冲的有6个数。
HINT
x≤100000,当ai=0时0≤ci−bi≤100000
Source
这是一道好题啊……
题目里的每一句话都暗藏玄机……
题目关键点在于number与product的关系,number*x+product*y=1的条件就是他们互质,所以我们实际要求的是porduct的欧拉函数。当然了,线筛肯定滚粗,我们还得看题目。他说任何人的财产都可以用那60个素数表示,良心啊。这样我们就可以用唯一分解来求欧拉函数了。
但是,问题在于我们怎么去求他的因子呢?线段树求出来的是在模完之后的,不可能通过它去求。所以我们还得维护一下因子。
由于博主太过蒟蒻,所以傻乎乎的拿了一个bool数组去存,然后T到死……
没办法,只能怂一波。万万没想到,一个long long就可以解决了。不知道大家有没有对本题涉及到的质数的个数60感到好奇呢?是的,long long极限是2^63-1,所以long long状压刚好可以,所以我们只要在线段树里用一个long long状压表示因子有谁就好了。
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 #include <iostream> 2 #include <cstdlib> 3 #include <cstdio> 4 #include <cstring> 5 #include <algorithm> 6 #include <cmath> 7 #include <queue> 8 #include <map> 9 #include <vector> 10 #define N 100005 11 using namespace std; 12 int n,p=19961993; 13 long long ksm(long long x,long long z) 14 { 15 long long ans=1; 16 while(z) 17 { 18 if(z&1) 19 { 20 ans*=x; 21 ans%=p; 22 } 23 x*=x;x%=p; 24 z>>=1; 25 } 26 return ans; 27 } 28 int zz,ss[100]; 29 struct no{ 30 int left,right,mid; 31 long long data,pp; 32 }node[N*4]; 33 void build(int left,int right,int x) 34 { 35 node[x].left=left,node[x].right=right; 36 node[x].pp|=(1<<1ll); 37 if(left==right) 38 { 39 node[x].data=3; 40 return; 41 } 42 int mid=(left+right)>>1; 43 node[x].mid=mid; 44 build(left,mid,x*2); 45 build(mid+1,right,2*x+1); 46 node[x].data=node[2*x].data*node[2*x+1].data; 47 node[x].data%=p; 48 } 49 void change(int to,int x,long long z) 50 { 51 if(node[x].left==node[x].right) 52 { 53 node[x].data=z; 54 node[x].pp=0; 55 for(int i=1;i<=zz;i++) 56 { 57 if(z%ss[i]==0) node[x].pp|=(1ll<<(i-1ll)); 58 } 59 return; 60 } 61 int mid=node[x].mid; 62 if(to>mid)change(to,2*x+1,z); 63 else change(to,2*x,z); 64 node[x].data=node[2*x].data*node[2*x+1].data; 65 node[x].data%=p; 66 node[x].pp=node[2*x].pp|node[2*x+1].pp; 67 } 68 long long pp; 69 long long get(int left,int right,int x) 70 { 71 if(node[x].left==left&&node[x].right==right) 72 { 73 pp|=node[x].pp; 74 return node[x].data; 75 } 76 int mid=node[x].mid; 77 if(left>mid)return get(left,right,2*x+1); 78 else if(right<=mid)return get(left,right,2*x); 79 else return get(left,mid,2*x)*get(mid+1,right,2*x+1)%p; 80 } 81 long long ni[100]; 82 void init() 83 { 84 for(int i=2;zz<60;i++) 85 { 86 zz++; 87 ss[zz]=i; 88 for(int j=2;j<=sqrt(i);j++) 89 { 90 if(i%j==0) 91 { 92 ss[zz]=0; 93 zz--; 94 break; 95 } 96 } 97 } 98 for(int i=1;i<=60;i++)ni[i]=ksm(ss[i],p-2); 99 } 100 int main() 101 { 102 init(); 103 scanf("%d",&n); 104 build(1,100000,1); 105 for(int i=1;i<=n;i++) 106 { 107 int op; 108 scanf("%d",&op); 109 if(op) 110 { 111 long long x,y; 112 scanf("%lld%lld",&x,&y); 113 change(x,1,y); 114 } 115 else 116 { 117 long long x,y; 118 pp=0; 119 scanf("%d%d",&x,&y); 120 long long pro=get(x,y,1); 121 long long ans=pro; 122 for(int i=1;i<=zz;i++) 123 { 124 if(pp&(1ll<<(i-1ll))) 125 { 126 ans*=ni[i]; 127 ans%=p; 128 ans*=(ss[i]-1); 129 ans%=p; 130 } 131 } 132 printf("%lld\n",ans); 133 } 134 } 135 return 0; 136 }