Bzoj3517 翻硬币题解 解异或方程组

3517: 翻硬币

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Description

有一个n行n列的棋盘，每个格子上都有一个硬币，且n为偶数。每个硬币要么是正面朝上，要么是反面朝上。每次操作你可以选定一个格子(x,y)，然后将第x行和第y列的所有硬币都翻面。求将所有硬币都变成同一个面最少需要的操作数。

Input

第一行包含一个正整数n。

接下来n行，每行包含一个长度为n的01字符串，表示棋盘上硬币的状态。

Output

仅包含一行，为最少需要的操作数。

Sample Input

4
0101
1000
0010
0101

Sample Output

2

HINT

 

【样例说明】

对(2,3)和(3,1)进行操作，最后全变成1。

【数据规模】

对于100%的数据，n ≤ 1,000。

 　　上来一看，第一反应，异或数学题，想了半天如何异或也没想出来，问呵呵酵母菌，他说他觉得是图论WTF？！图论有几个O(n)算法能在这道题用上的。

　　于是乎看了一眼题解：解异或方程组……

　　一个点最多翻一遍，这话不用再说了吧……

　　让我们先从都翻为0开始说起

　　我们设x[i][j]为第i,j个点是否要翻，a[i][j]为该点初始状态，则x[1][j]^x[2][j]^……^x[n][j]^x[i][1]^x[i][2]^x[i][m]^x[i][j]=a[i][j]。

　　我们把第i行和第j列所有的点按照上式列出方程组并合并， 由于n为偶数，则可以化为：

　　　　x[i][j]=a[1][j]^a[2][j]^……^a[n][j]^a[i][1]^a[i][2]^……^a[i][m]^a[i][j]。

　　那么我们只要对于每一行，每一列n^2预处理出他们的异或和再相加就好了。

　　至于都为1吗？由于n是偶数，我们只要把每一个点是否翻的状态取反就是答案。

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
#define N 1005
using namespace std;
int n,a[N][N];
char b[N];
int sum[2][N];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",b+1);
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            a[i][j]=b[j]-'0';
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            sum[0][i]^=a[i][j];
            sum[1][j]^=a[i][j];
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            int t=sum[0][i]^sum[1][j];
            t^=a[i][j];
            ans+=t;
        }
    }
    ans=min(ans,n*n-ans);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}