线性基总结
线性基
\(知道这玩意很久了,这次来总结一下。\)
定义
基:
\(在线性代数中,基(也称为基底)是描述、刻画向量空间的基本工具。向量\)\(空间的基是它的一个特殊的子集,基的元素称为基向量。向量空间中任意一个元\)\(素,都可以唯一地表示成基向量的线性组合。如果基中元素个数有限,就称向量\)\(空间为有限维向量空间,将元素的个数称作向量空间的维数。\)
线性基:
\(线性基是一种特殊的基,它通常会在异或运算中出现,它的意义是:通\)\(过原集合S的某一个最小子集S1使得S1内元素相互异或得到的值域与原集合S相\)\(互异或得到的值域相同。\)
三大性质
\(1、原序列里面的任意一个数都可以由线性基里面的一些数异或得到。\)
\(2、线性基里面的任意一些数异或起来都不能得到0。\)
\(3、线性基里面的数的个数唯一,并且在保持性质一的前提下,数的个数是最少的。\)
线性基的构造方法
\(构造线性基,我们考虑用增量法来构造线性基。假如现在要插入一个向量,从左向右不断消去1,直\)\(到出现了第一个无法消去的1,说明这个向量无法用现在的几组基底表示出来,所以将其插入线性基。\)
代码实现
ll d[65];
void addnum(ll x)
{
for(int i=60;i>=0;i--)
if((x>>i)&1){
if(d[i])x^=d[i];
else{
d[i]=x;
break;
}
}
}
性质的证明:
证明性质1
\(我们知道了线性基的构造方法后,其实就可以很容易想到如何证明性质1了,我们设原序列里面有一\)\(个数x,我们尝试用它来构造线性基,那么会有两种结果——1、不能成功插入线性基;2、成功\)\(插入线性基。\)
分类讨论一下
\(1、不能成功插入线性基\)
\(什么时候不能插入进去呢?\)
\(显然就是它在尝试插入时异或若干个数之后变成了0。\)
\(那么就有如下式子:\)
$$x \oplus d[a] \oplus d[b] \oplus d[c]...=0$$
\(根据上面的那个小性质,则有:\)
$$d[a] \oplus d[b] \oplus d[c] \oplus...=x$$
\(所以,如果x不能成功插入线性基,一定是因为当前线性基里面的一些数异或起来可以等于x。\)
\(2、可以成功插入线性基\)
\(我们假设x插入到了线性基的第i个位置,显然,它在插入前可能异或若干个数,那么就有:\)
$$x \oplus d[a] \oplus d[b] \oplus d[c] \oplus …=d[i]$$
$$ d[i] \oplus d[a] \oplus d[b] \oplus d[c] \oplus …=x$$
\(所以显然,x此时也可以由线性基里面的若干个数异或得到。\)
综上,性质一得证
证明性质2
由反证法:
\(假设线性基中存在d[a] \oplus d[b] \oplus d[c]=0\)
\(则 d[a] \oplus d[b] = d[c]\)
\(因此d[c]根本无法插入线性基中,与假设矛盾。\)
\(所以性质二得证。\)
性质三证明略
\(推荐大佬博客:https://blog.csdn.net/a_forever_dream/article/details/83654397\)
应用
\(那么这玩意到底有啥用呢?\)
求异或最大值
ll getmax()
{
ll res=0;
for(int i=60;i>=0;i--)
if(res^d[i]>res)
res^=d[i];
return res;
}
求异或最小值
ll getmin()
{
ll res=0,cnt=0;
for(int i=60;i>=0;i--)
if(d[i])
cnt++,res=d[i];
if(cnt<n)return 0;
return res;
}
求异或第k大值
例题 : https://vjudge.net/problem/HDU-3949
AC代码:
#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int N=1e5+5;
ll d[65],d2[65],cnt;
void addnum(ll x)
{
for(int i=60;i>=0;i--)
if((x>>i)&1){
if(d[i])x^=d[i];
else{
d[i]=x;
break;
}
if(x==0)break;
}
}
void change()
{
for(int i=60;i>=0;i--)
{
for(int j=i-1;j>=0;j--)
if((d[i]>>j)&1){
d[i]^=d[j];
}
}
for(int i=0;i<=60;i++){
if(d[i])d2[cnt++]=d[i];
}
}
int main()
{
int _;
scanf("%d",&_);
for(int t=1;t<=_;t++)
{
memset(d,0,sizeof d);
cnt=0;
printf("Case #%d:\n",t);
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
ll x;
scanf("%lld",&x);
addnum(x);
}
change();
int q;
scanf("%d",&q);
for(int i=1;i<=q;i++){
ll k;
scanf("%lld",&k);
if(n>cnt)k--;
if(k>=(1ll<<cnt))printf("-1\n");
else{
ll res=0;
for(int i=0;i<cnt;i++){
if(1&(k>>i))res^=d2[i];
}
printf("%lld\n",res);
}
}
}
return 0;
}