线性基总结

线性基

$知道这玩意很久了，这次来总结一下。$

定义

基：

$在线性代数中，基（也称为基底）是描述、刻画向量空间的基本工具。向量$$空间的基是它的一个特殊的子集，基的元素称为基向量。向量空间中任意一个元$$素，都可以唯一地表示成基向量的线性组合。如果基中元素个数有限，就称向量$$空间为有限维向量空间，将元素的个数称作向量空间的维数。$

线性基：

$线性基是一种特殊的基，它通常会在异或运算中出现，它的意义是：通$$过原集合S的某一个最小子集S1使得S1内元素相互异或得到的值域与原集合S相$$互异或得到的值域相同。$

$$也可以说是​在 mod 2的意义下，有n个长度为m的向量，这n个向量的线性基为其所组成的线性空间V的基底。$$

三大性质

$1、原序列里面的任意一个数都可以由线性基里面的一些数异或得到。$
$2、线性基里面的任意一些数异或起来都不能得到0。$
$3、线性基里面的数的个数唯一，并且在保持性质一的前提下，数的个数是最少的。$

线性基的构造方法

$构造线性基，我们考虑用增量法来构造线性基。假如现在要插入一个向量，从左向右不断消去1，直$$到出现了第一个无法消去的1，说明这个向量无法用现在的几组基底表示出来，所以将其插入线性基。$

代码实现

ll d[65];
void addnum(ll x)
{
    for(int i=60;i>=0;i--)
    if((x>>i)&1){
        if(d[i])x^=d[i];
        else{
            d[i]=x;
            break;
        }
    }
}

性质的证明：

证明性质1

$我们知道了线性基的构造方法后，其实就可以很容易想到如何证明性质1了，我们设原序列里面有一$$个数x，我们尝试用它来构造线性基，那么会有两种结果——1、不能成功插入线性基；2、成功$$插入线性基。$

分类讨论一下

$1、不能成功插入线性基$
$什么时候不能插入进去呢？$
$显然就是它在尝试插入时异或若干个数之后变成了0。$
$那么就有如下式子：$
$$x \oplus d[a] \oplus d[b] \oplus d[c]...=0$$
$根据上面的那个小性质，则有：$
$$d[a] \oplus d[b] \oplus d[c] \oplus...=x$$
$所以，如果x不能成功插入线性基，一定是因为当前线性基里面的一些数异或起来可以等于x。$

$2、可以成功插入线性基$
$我们假设x插入到了线性基的第i个位置，显然，它在插入前可能异或若干个数，那么就有：$
$$x \oplus d[a] \oplus d[b] \oplus d[c] \oplus …=d[i]$$
$$d[i] \oplus d[a] \oplus d[b] \oplus d[c] \oplus …=x$$
$所以显然，x此时也可以由线性基里面的若干个数异或得到。$

综上，性质一得证

证明性质2

由反证法：

$假设线性基中存在d[a] \oplus d[b] \oplus d[c]=0$
$则 d[a] \oplus d[b] = d[c]$
$因此d[c]根本无法插入线性基中，与假设矛盾。$
$所以性质二得证。$

性质三证明略

$推荐大佬博客：https://blog.csdn.net/a_forever_dream/article/details/83654397$

应用

$那么这玩意到底有啥用呢？$

求异或最大值

ll getmax()
{
    ll res=0;
    for(int i=60;i>=0;i--)
        if(res^d[i]>res)
            res^=d[i];
    return res;
}

求异或最小值

ll getmin()
{
    ll res=0,cnt=0;
    for(int i=60;i>=0;i--)
        if(d[i])
            cnt++,res=d[i];
    if(cnt<n)return 0;
    return res;
}

求异或第k大值

例题 ： https://vjudge.net/problem/HDU-3949

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int N=1e5+5;
ll d[65],d2[65],cnt;
void addnum(ll x)
{
    for(int i=60;i>=0;i--)
    if((x>>i)&1){
        if(d[i])x^=d[i];
        else{
            d[i]=x;
            break;
        }
        if(x==0)break;
    }
}
void change()
{
    for(int i=60;i>=0;i--)
    {
        for(int j=i-1;j>=0;j--)
        if((d[i]>>j)&1){
            d[i]^=d[j];
        }
    }
    for(int i=0;i<=60;i++){
        if(d[i])d2[cnt++]=d[i];
    }
}
int main()
{
    int _;
    scanf("%d",&_);
    for(int t=1;t<=_;t++)
    {
        memset(d,0,sizeof d);
        cnt=0;
        printf("Case #%d:\n",t);
        int n;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            ll x;
            scanf("%lld",&x);
            addnum(x);
        }
        change();
        int q;
        scanf("%d",&q);
        for(int i=1;i<=q;i++){
            ll k;
            scanf("%lld",&k);
            if(n>cnt)k--;
            if(k>=(1ll<<cnt))printf("-1\n");
            else{
                ll res=0;
                for(int i=0;i<cnt;i++){
                    if(1&(k>>i))res^=d2[i];
                }
                printf("%lld\n",res);
            }
        }
    }
    return 0;
}