数论函数——莫比乌斯反演
一些函数的一些性质
取整函数 \(\lfloor x \rfloor\)
(一)\(\lfloor x \rfloor <= x < \lfloor x \rfloor +1\)
(二)对任意x与正整数a,b\(\lfloor \lfloor \frac{x}{a} \rfloor /b\rfloor=\lfloor \frac{x}{ab}\rfloor\)
(三)对于正整数n,1 -- n中d的倍数个数为 \(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\)
(四)若n为正整数,\(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\)不同取值个数不超过\(2\times\sqrt{n}种\)
证明:
\((1)若d \leq{\sqrt{n}},\lfloor \frac{n}{d}\rfloor只有不超过\sqrt{n}种\)
\((2)若d>\sqrt{n},\lfloor \frac{n}{d} \rfloor \leq \frac{n}{d} \leq \sqrt{n},\lfloor \frac{n}{d}\rfloor 不超过\sqrt{n}种\)
\(综上,\lfloor \frac{n}{d}\rfloor 不超过2\times{\sqrt{n}}种\)
调和数
定义 $$Hn=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$$运算得$$
Hn=ln(n)+r+o(1) $$其中r为欧拉马歇罗尼常数,r约为0.577 ,因此$$
\sum\limits_{d=1}^{n} \lfloor \frac{n}{d}\rfloor = o(n\times{logn)} $$
素数计数函数
因此n附近素数密度近似为\frac{1}{ln(n)}$$$$
第n个素数pn\sim n\times{ln(n)}$$
数论函数
积性函数
完全积性函数
\(若f为积性函数,\) $$
n={p1{a1}}\times{p_2{a_2}}\times{p_3{a_3}}......\times{p_s{a_s}}$$$$
f(n)=f(p_1{a_1})\times{f(p_2)}\times{f(p_3{a_3})}......\times{f(p_s)}$$
单位函数
除数函数
\(\delta_k(n)表示n因子的k次方之和\)
Euler函数:\(\phi(n)\)
\(Euler函数表示不超过n且与n互质的正整数个数\)
性质:
证明:
\(若gcd(n,i)=d,gcd(\frac{n}{d},\frac{i}{d})=1\)
\(其中\frac{i}{d}是不超过\frac{n}{d}的整数,由欧拉函数的定义,i的个数为\phi(\frac{n}{d})个\)
\(对于所有的d|n,n=\sum\limits_{d|n}\phi(\frac{n}{d})=\sum\limits_{d|n}\phi(d)\)
Dirichlet 卷积
\(f,g为数论函数,数论函数h满足\) $$
h(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$$
\(则h为f与g的Dirichlet卷积,记为\)
性质
\((1)单位函数\epsilon为Dirichlet卷积的单位元,即对于任意函数f,有\)
\((2)满足交换律和结合律\)
\((3) 若f,g为积性函数,f \ast g也为积性函数\)
\((4) 逆函数:f \ast f_逆=\epsilon\)
\(定义幂函数:Id_k(n)=n^k,Id=Id_1\)
\(所以除数函数: \delta_k=1 \ast Id_k\)
\(Euler函数: \phi(n) = 1 \ast Id\)
计算Dirichlet卷积:
\(f,g为数论函数,则 f \ast g在n处的值需要枚举n的所有约数\)
\(计算f \ast g的前n项,枚举1到n中每个数的倍数\)
Mobius 函数
\(其中p_1,p_2,p_3为素数\)
性质
证明:
\(n=1,显然成立\)
\(n>1\)
\(设n有s个不同的素因子,由Mobius函数定义,\)
\(当且仅当d无平方因子的时候,\mu(d)!=0\)
\(于是d中的每一个素因子的指数只能是0或1\)
\(故由二项式定理\)
\(得证\)
Mobius变换
\(设f为数论函数,定义函数g满足:\)
\(则称g为f的Mobius变换,f是g的Mobius逆变换\)
\(Dirichlet卷积\) $$g=f \ast 1$$
Mobius反演
\(g(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)的充要条件为f(n)=\sum\limits_{d|n}g(d)\mu(\frac{n}{d})\)
证明:
得证。
应用
利用Dirichlet卷积可以解决一系列求和问题。
常用一个Dirichlet卷积替换求和式中的一部分,然后调换求和顺序,最终降低时间复杂度。
常用:
\(\mu \ast 1= \epsilon\)
\(Id = 1 \ast \phi\)