数论函数——莫比乌斯反演

一些函数的一些性质

取整函数 \(\lfloor x \rfloor\)

（一）\(\lfloor x \rfloor <= x < \lfloor x \rfloor +1\)

（二）对任意x与正整数a，b\(\lfloor \lfloor \frac{x}{a} \rfloor /b\rfloor=\lfloor \frac{x}{ab}\rfloor\)

（三）对于正整数n，1 -- n中d的倍数个数为 \(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\)

（四）若n为正整数，\(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\)不同取值个数不超过\(2\times\sqrt{n}种\)

证明：
\(（1）若d \leq{\sqrt{n}},\lfloor \frac{n}{d}\rfloor只有不超过\sqrt{n}种\)

\(（2）若d>\sqrt{n}，\lfloor \frac{n}{d} \rfloor \leq \frac{n}{d} \leq \sqrt{n},\lfloor \frac{n}{d}\rfloor 不超过\sqrt{n}种\)

\(综上,\lfloor \frac{n}{d}\rfloor 不超过2\times{\sqrt{n}}种\)

调和数

定义 $$Hn=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$$运算得$$
Hn=ln(n)+r+o(1) $$其中r为欧拉马歇罗尼常数，r约为0.577 ，因此$$
\sum\limits_{d=1}^{n} \lfloor \frac{n}{d}\rfloor = o(n\times{logn)} $$

素数计数函数

\[\pi(n)\sim \frac{n}{ln (n)}$$ \]

因此n附近素数密度近似为\frac{1}{ln(n)}$$$$
第n个素数pn\sim n\times{ln(n)}$$

数论函数

积性函数

\[f为数论函数，对互质的正整数a，b，f(a\times{b})=f(a)\times{f(b}) \]

完全积性函数

\[f为数论函数，对任意的正整数a，b，f(a\times{b})=f(a)\times{f(b}) \]

\(若f为积性函数，\) $$
n={p1^{{a1}}\times{p_2}{a_2}}\times{p_3^{{a_3}}......\times{p_s}{a_s}}$$$$
f(n)=f(p_1^{{a_1})\times{f(p_2})}\times{f(p_3^{{a_3})}......\times{f(p_s})}$$

单位函数

\[\epsilon(n)=[n==1]= \left\{ \begin{aligned} 1&,n=1\\ 0&,n!=1\\ \end{aligned} \right. \]

除数函数

\(\delta_k(n)表示n因子的k次方之和\)

\[\delta_k(n)=\sum\limits_{d|n}d^k\]

Euler函数：\(\phi(n)\)

\(Euler函数表示不超过n且与n互质的正整数个数\)
性质：

\[n=\sum\limits_{d|n}\phi(d) \]

证明：

\(若gcd(n,i)=d，gcd(\frac{n}{d},\frac{i}{d})=1\)

\(其中\frac{i}{d}是不超过\frac{n}{d}的整数，由欧拉函数的定义，i的个数为\phi(\frac{n}{d})个\)

\(对于所有的d|n，n=\sum\limits_{d|n}\phi(\frac{n}{d})=\sum\limits_{d|n}\phi(d)\)

Dirichlet 卷积

\(f,g为数论函数，数论函数h满足\) $$
h(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$$
\(则h为f与g的Dirichlet卷积，记为\)

\[h=f \ast g \]

性质

\((1)单位函数\epsilon为Dirichlet卷积的单位元，即对于任意函数f，有\)

\[\epsilon \ast f=f \ast \epsilon =f \]

\((2)满足交换律和结合律\)

\((3) 若f,g为积性函数，f \ast g也为积性函数\)

\((4) 逆函数：f \ast f_逆=\epsilon\)

\(定义幂函数：Id_k(n)=n^k,Id=Id_1\)

\(所以除数函数: \delta_k=1 \ast Id_k\)

\(Euler函数： \phi(n) = 1 \ast Id\)

计算Dirichlet卷积：

\(f,g为数论函数，则 f \ast g在n处的值需要枚举n的所有约数\)

\(计算f \ast g的前n项，枚举1到n中每个数的倍数\)

Mobius 函数

\[\mu(n)= \left\{ \begin{aligned} &1&n=1 \\ &(-1)^s&n=p_1\times{p_2}\times{p_3}......\times{p_s}\\ &0&otherwise \\ \end{aligned} \right. \]

\(其中p_1,p_2,p_3为素数\)

性质

\[\sum\limits_{d|n}\mu(n)= \epsilon(n) \Rightarrow \mu \ast 1 = \epsilon \]

证明：

\(n=1,显然成立\)

\(n>1\)

\(设n有s个不同的素因子，由Mobius函数定义,\)

\(当且仅当d无平方因子的时候，\mu(d)!=0\)

\(于是d中的每一个素因子的指数只能是0或1\)

\(故由二项式定理\)

\[\sum\limits_{d|n}\mu(d)=\sum\limits_{k=0}^s (-1)^k(s,k)=(1-1)^s=0 \]

\(得证\)

Mobius变换

\(设f为数论函数，定义函数g满足：\)

\[g(n)=\sum\limits_{d|n}f(d) \]

\(则称g为f的Mobius变换，f是g的Mobius逆变换\)

\(Dirichlet卷积\) $$g=f \ast 1$$

Mobius反演

\(g(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)的充要条件为f(n)=\sum\limits_{d|n}g(d)\mu(\frac{n}{d})\)

证明：

\[g=f \ast 1 \]

\[f=f \ast \epsilon =f \ast 1 \ast \mu =g \ast \mu \]

得证。

应用

利用Dirichlet卷积可以解决一系列求和问题。
常用一个Dirichlet卷积替换求和式中的一部分，然后调换求和顺序，最终降低时间复杂度。

常用：
\(\mu \ast 1= \epsilon\)
\(Id = 1 \ast \phi\)