从合并排序算法看“分治法”
本文内容
- 分治策略
- 分治步骤
- 从合并排序看“分治策略”
分治策略
分治法（divide-and-conquer），“分治法策略”是一种很重要的算法。顾名思义，“分而治之”。将原问题划分成 n 个规模较小，而结构与原问题相似的子问题；递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。
“分治策略”是很多高效算法的基础，如快速排序、归并排序、傅立叶变换（快速傅立叶变换）。
分治步骤
- 分解（Divide）：将原问题分解成一系列子问题；
- 解决（Conquer）：递归地解各个子问题。若子问题足够小，则直接求解；
- 合并（Combine）：将子问题的结果合并成原问题的解。
备注：
如何划分子问题的规模？从大量实践中发现，在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同。换句话说，将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。许多问题可以取 k = 2。这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡（balancing）子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。
从合并排序看“分治策略”
合并排序（Merge Sort）算法完全按照上述模式，步骤如下：
- 分解：将 n 个元素分成各含 n/2 个元素的子序列；
- 解决：用合并排序发对两个子序列递归地排序；
- 合并：合并两个已排序的子序列得到排序结果。
元素头文件 MyElement.h
#ifndef MYELEMENT_H_INCLUDED
#define MYELEMENT_H_INCLUDED
#define N 10
#define LQ(a,b) ((a)<=(b))
typedef int ElementType;
void Print(ElementType e[], int n);
#endif // MYELEMENT_H_INCLUDED
元素源文件 MyElement.c
#include <stdio.h>
#include "MyElement.h"
void Print(ElementType e[], int n)
{
int i;
for(i=1; i<n; i++)
printf("%d ",e[i]);
printf("\n");
}
合并排序头文件 MergeSort.h
#ifndef MERGESORT_H_INCLUDED
#define MERGESORT_H_INCLUDED
#include "MyElement.h"
void MergeSort(ElementType e[], int n);
void Main_MergeSort();
#endif // MERGESORT_H_INCLUDED
合并排序源文件 MergeSort.c
#include <stdio.h>
#include "MergeSort.h"
#include "MyElement.h"
void Merge(ElementType SR[],ElementType TR[],int i,int m,int n)
{
/* 将有序的SR[i..m]和SR[m+1..n]归并为有序的TR[i..n] */
int j,k,l;
for(j=m+1,k=i; i<=m&&j<=n; ++k) /* 将SR中记录由小到大地并入TR */
if LQ(SR[i],SR[j])
TR[k]=SR[i++];
else
TR[k]=SR[j++];
if(i<=m)
for(l=0; l<=m-i; l++)
TR[k+l]=SR[i+l]; /* 将剩余的SR[i..m]复制到TR */
if(j<=n)
for(l=0; l<=n-j; l++)
TR[k+l]=SR[j+l]; /* 将剩余的SR[j..n]复制到TR */
}
void MSort(ElementType SR[],ElementType TR1[],int s, int t)
{
/* 将SR[s..t]归并排序为TR1[s..t]。*/
int m;
ElementType TR2[N+1];
if(s==t)
TR1[s]=SR[s];
else
{
m=(s+t)/2; /* 将SR[s..t]平分为SR[s..m]和SR[m+1..t] */
MSort(SR,TR2,s,m); /* 递归地将SR[s..m]归并为有序的TR2[s..m] */
MSort(SR,TR2,m+1,t); /* 递归地将SR[m+1..t]归并为有序的TR2[m+1..t] */
Merge(TR2,TR1,s,m,t); /* 将TR2[s..m]和TR2[m+1..t]归并到TR1[s..t] */
}
}
/* 归并排序 */
void MergeSort(ElementType e[], int n)
{
MSort(e,e,1,n-1);
}
void Main_MergeSort()
{
ElementType d[N]= {49,38,65,97,76,13,27,49,55,10};
printf("排序前:\n");
Print(d,N);
MergeSort(d,N);
printf("排序后:\n");
Print(d,N);
printf("\n");
}
再者，若有一个数组，查找其中最大值和最小值，也可以采用分治算法。
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define M 10
/* 求一个数组中最大值和最小值的分治算法
参数:
s 当前分治段的开始下标
e 当前分治段的结束下标
meter 表的地址
max 存储当前搜索到的最大值
min 存储当前搜索到的最小值
*/
void MaxMin(int s,int e,int meter[],int *max,int *min)
{
int i;
if(e-s <= 1)
{
if(meter[s] > meter[e])
{
if(meter[s] > *max)
*max = meter[s];
if(meter[e] < *min)
*min = meter[e];
}
else
{
if(meter[e] > *max)
*max = meter[e];
if(meter[s] < *min)
*min = meter[s];
}
return ;
}
i = s + (e-s)/2;
MaxMin(s,i,meter,max,min);
MaxMin(i+1,e,meter,max,min);
}
void main()
{
int meter[M]= {34,67,54,68,23,12,26,97,80,10};
int max = INT_MIN; /* 用最小值初始化 */
int min = INT_MAX; /* 用最大值初始化 */
printf("The array's Max & Min Value as followed:\n");
MaxMin(0,M - 1,meter,&max,&min); /* 分治法获取最值 */
printf("\nMax : %d\nMin : %d\n",max,min);
}
