二叉平衡树
二叉平衡树又称为AVL树。它继承了二叉搜索树的规则，并加了一个规则。它的规则是：
1.每个结点的左子树和右子树的高度最多差1.
二叉平衡树由于不会产生像二叉搜索树那样的极端情况，所以查找，删除(懒惰删除)的时间复杂度为o(logn)。插入操作需要对树作出调整，所以时间复杂度略高于o(logn)。
如图所示，a-1为AVL树，而a-2则不是AVL树。
插入操作需要旋转树以维持高度差最多为1这一特点。
把必须重新平衡的节点叫作a。由于任意结点最多有两个儿子，因此高度不平衡时，a点的两棵子树的高度差2。将会出现以下四种不平衡的情况：
1.对a的左儿子的左子树进行一次插入。
2.对a的左儿子的右子树进行一次插入。
3.对a的右儿子的左子树进行一次插入。
4.对a的右儿子的右子树进行一次插入。
对于1、4两种情况可以通过单旋转达到平衡条件。对于2、3两种情况可以通过双旋转达到平衡条件。
单旋转LL：
单旋转RR:
双旋转LR：
双旋转RL:
具体实现:
1 template<typename T> 2 struct avl_tree_node 3 { 4 avl_tree_node(const T& _element, avl_tree_node *_left = NULL, avl_tree_node *_right = NULL, int h = 0, bool _isdeleted = false) 5 : element(_element) 6 , left(_left) 7 , right(_right) 8 , height(h) 9 , isdeleted(_isdeleted) 10 { 11 } 12 T element; 13 avl_tree_node *left; 14 avl_tree_node *right; 15 int height; 16 bool isdeleted; 17 }; 18 19 template<typename T> 20 class avl_tree 21 { 22 typedef avl_tree_node<T> tree_node; 23 public: 24 avl_tree() { m_root = NULL; } 25 avl_tree(const avl_tree& rhs) 26 : m_root(clone(rhs.m_root)) 27 {} 28 const avl_tree& operator=(const avl_tree& rhs) 29 { 30 if(this!=&rhs) 31 { 32 clear(); 33 m_root = clone(rhs.m_root); 34 } 35 } 36 37 ~avl_tree() 38 { 39 clear(m_root); 40 } 41 42 public: 43 // 最小值 44 const T& min() const 45 { 46 tree_node* node = min(m_root); 47 if(node) 48 { 49 return node->element; 50 } 51 throw std::runtime_error("查找二叉树无任何节点"); 52 } 53 54 // 最大值 55 const T& max() const 56 { 57 tree_node* node = max(m_root); 58 if(node) 59 { 60 return node->element; 61 } 62 throw std::runtime_error("查找二叉树无任何节点"); 63 } 64 65 // 判断树上是否包含该值 66 bool contains(const T& x) const 67 { 68 return contains(x,m_root); 69 } 70 71 // 判断树是否为空 72 bool is_empty() const 73 { 74 return m_root==NULL; 75 } 76 77 // 清空树 78 void clear() 79 { 80 clear(m_root); 81 } 82 83 // 插入值为x的节点 84 void insert(const T& x) 85 { 86 insert(x,m_root); 87 } 88 89 // 移除值为x的节点 90 void remove(const T& x) 91 { 92 remove(x,m_root); 93 } 94 95 // 对所有节点执行某项动作 96 template<typename Functor> 97 void foreach(Functor& functor) 98 { 99 foreach(m_root,functor); 100 } 101 102 private: 103 // 树最小节点 104 tree_node* min(tree_node* t) const 105 { 106 if( t==NULL ) 107 { 108 return NULL; 109 } 110 while(t->left!=NULL) 111 { 112 t = t->left; 113 } 114 return t; 115 } 116 117 // 树最大节点 118 tree_node* max(tree_node* t) const 119 { 120 if( t==NULL ) 121 { 122 return NULL; 123 } 124 while(t->right!=NULL) 125 { 126 t = t->right; 127 } 128 return t; 129 } 130 131 // 判断树是否存在该节点 132 bool contains(const T& x, tree_node* t) const 133 { 134 if( t == NULL ) 135 { 136 return false; 137 } 138 else if( x<t->element ) 139 { 140 return contains( x, t->left ); 141 } 142 else if( x>t->element ) 143 { 144 return contains(x, t->right); 145 } 146 else 147 { 148 if(!t->isdeleted) 149 { 150 return true; 151 } 152 else 153 { 154 return false; 155 } 156 } 157 } 158 159 // 插入节点 160 void insert(const T& x, tree_node*& t) 161 { 162 if( t == NULL ) 163 { 164 t = new tree_node(x,NULL,NULL); 165 } 166 else if( x<t->element) 167 { 168 insert(x,t->left); 169 if(height(t->left) - height(t->right) == 2) 170 { 171 if( x<t->left->element) 172 { 173 rotate_single_left(t); 174 } 175 else 176 { 177 rotate_double_left(t); 178 } 179 } 180 } 181 else if( x>t->element ) 182 { 183 insert(x,t->right); 184 if(height(t->right) - height(t->left) == 2) 185 { 186 if( x>t->right->element ) 187 { 188 rotate_single_right(t); 189 } 190 else 191 { 192 rotate_double_right(t); 193 } 194 } 195 } 196 else 197 { 198 if(t->isdeleted) 199 { 200 t->isdeleted = false; 201 } 202 } 203 t->height = max(height(t->left),height(t->right)) + 1; 204 } 205 206 // 移除某节点 207 void remove(const T& x, tree_node*& t) 208 { 209 if( t== NULL ) 210 { 211 return; 212 } 213 else if( x < t->element) 214 { 215 remove(x,t->left); 216 } 217 else if( x > t->element ) 218 { 219 remove(x,t->right); 220 } 221 else if( t->left != NULL && t->right != NULL) 222 { 223 //t->element = min( t->right )->element; 224 //remove( t->element, t->right); 225 t->isdeleted = true; 226 } 227 else 228 { 229 //avl_tree_node *old_node = t; 230 //t = (t->left != NULL)?t->left:t->right; 231 //delete old_node; 232 t->isdeleted = true; 233 } 234 } 235 236 // 清除该节点为根节点的树 237 void clear(tree_node*& t) 238 { 239 if(t != NULL) 240 { 241 clear(t->left); 242 clear(t->right); 243 delete t; 244 t = NULL; 245 } 246 } 247 248 // 对该节点的为根节点的树的所有子节点执行某项动作 249 template<typename Functor> 250 void foreach(tree_node* t, Functor& functor) 251 { 252 if(t!=NULL) 253 { 254 functor(t); 255 foreach(t->left, functor); 256 foreach(t->right, functor); 257 } 258 } 259 260 // 深拷贝树 261 tree_node* clone(tree_node* t) const 262 { 263 if( t==NULL ) 264 { 265 return NULL; 266 } 267 return new tree_node(t->element, clone(t->left), clone(t->right)); 268 } 269 270 // 单旋转-LL 271 void rotate_single_left(tree_node*& k2) 272 { 273 tree_node* k1 = k2->left; 274 k2->left = k1->right; 275 k1->right = k2; 276 k2->height = max(height(k2->left),height(k2->right)) + 1; 277 k1->height = max(height(k1->left),k2->height) + 1; 278 k2 = k1; 279 } 280 281 // 单旋转-RR 282 void rotate_single_right(tree_node*& k2) 283 { 284 tree_node* k1 = k2->right; 285 k2->right = k1->left; 286 k1->left = k2; 287 k2->height = max(height(k2->left),height(k2->right)) + 1; 288 k1->height = max(height(k1->right),k2->height) + 1; 289 k2 = k1; 290 } 291 292 // 双旋转-LR 293 void rotate_double_left(tree_node*& k3) 294 { 295 rotate_single_right(k3->left); 296 rotate_single_left(k3); 297 } 298 299 // 双旋转-RL 300 void rotate_double_right(tree_node*& k3) 301 { 302 rotate_single_left(k3->right); 303 rotate_single_right(k3); 304 } 305 306 // 高 307 int height(tree_node*& node) 308 { 309 return node==NULL?-1:node->height; 310 } 311 312 313 int max(int m, int n) 314 { 315 return m>n?m:n; 316 } 317 318 private: 319 tree_node *m_root; 320 };
