线性求逆元（简略数学证明）

求1~n所有数的逆元：

假设1~i-1的逆元已求出,设p÷i=d……r（商d余r），则p=i*d+r。其中r=p%i。

对p=i*d+r，等式两边同时%p，得到0=（i*d+r）%p。

即为0≡i*d+r(mod p)（同余有一条性质：如果a≡b(mod m),x≡y(mod m)，则有ax≡by(mod m)。）

由同余的自反性（一个数永远和自己本身同余）可知：i^-1*r^-1≡i^-1*r^-1(mod p)，即可运用该性质

对上述同余式，乘i^-1*r^-1(乘i的逆元与r的逆元的积)

得到：0≡r^-1*d+i^-1(mod p);

∴i^-1≡-r^-1*d(mod p)，r=p%i。

于是就有了这样一段伪代码：

inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < p; ++ i)
    inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;