两张素数筛法

一，证明：令x≥1x≥1，将大于等于55的自然数表示如下： ......6x-1,6x,6x+1,6x+2,6x+3,6x+4,6x+5,6(x+1),6(x+1)+1............6x−1,6x,6x+1,6x+2,6x+3,6x+4,6x+5,6(x+1),6(x+1)+1......

可以看到，不在6的倍数两侧，即6x6x两侧的数为6x+2,6x+3,6x+4...6x+2,6x+3,6x+4...由于2(3x+1),3(2x+1),2(3x+2),2(3x+1),3(2x+1),2(3x+2),

所以它们一定不是素数，再除去6x6x本身，显然，素数要出现只可能出现在6x6x的相邻两侧。

所以，基于以上条件，我们假如要判定的数为nn，则nn必定是6x-16x−1或6x+16x+1的形式，对于循环中6i-16i−1，6i6i，6i+16i+1,6i+2,6i+3,6i+46i+2,6i+3,6i+4，其中如果nn能被6i6i，6i+26i+2，6i+46i+4整除，则nn至少得是一个偶数，

但是6x-16x−1或6x+16x+1的形式明显是一个奇数，故不成立；另外，如果nn能被6i+36i+3整除，则n至少能被33整除，

但是6x6x能被33整除，故6x-16x−1或6x+16x+1（即nn）不可能被33整除，故不成立。综上，循环中只需要考虑6i-16i−1和6i+16i+1的情况，

即循环的步长可以定为66，每次判断循环变量kk和k+2k+2的情况即可，代码如下:

bool Is_prime(int n)
{
    if(n==1) return false;
    if(n==2||n==3) return true;
    if(n%6!=1&&n%6!=5) return false;
    for(register int i=5;i*i<=n;i+=6)
        if(n%i==0||n%(i+2)==0) return false;
    return true;
}

二，

，每一个有多组因数可能会被筛多次，例如：3030会被2,3,52,3,5各筛一次导致计算冗余，我们可以对此方法进行改进，得到更加高效的筛法（欧拉筛）

代码如下：

#include<cstring>
#incldue<cmath>
const int MAXN=1000010;
bool prime[MAXN];
int Prime[MAXN];
int num=0;
void make_prime()
{
    memset(prime,true,sizeof(prime));
    prime[0]=prime[1]=false;
    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
    {
        if(prime[i])
        {
            Prime[num++]=i;
        }
        for(int j=0;j<num&&i*Prime[j]<MAXN;j++)
        {
            prime[i*Prime[j]]=false;
            if(!(i%Prime[j]))
                break;
        }
    }
    return;
}

这个方法可以保证每个和合数在N/MN/M的最小素因子时被筛出，所以时间复杂度仅为O(N)O(N)已经可以满足大部分需求，在竞赛中，这种方法也可以在极短的时间内求出关于NN的质数表。

但是这个算法的弊端在于，为了判断一个大数是否是素数必须从从头开始扫描，而且空间代价也受不了，故不能离散的判断。