网上以讹传讹的逻辑推理题：电影票问题

      有一道买电影票的问题网上发布的答案都是错误的，误人子弟，却没有人指正出来，余甚感痛心。在此写出我的解法。

      题目：有2n个人排队进电影院，票价是50美分。在这2n个人当中，其中n个人只有50美分，另外n个人有1美元（纸票子）。愚蠢的电影院开始卖票时1分钱也没有。问： 有多少种排队方法 使得 每当一个拥有1美元买票时，电影院都有50美分找钱注： 1美元=100美分拥有1美元的人，拥有的是纸币，没法破成2个50美分

      网上的答案一般是：本题可用递归算法，但时间复杂度为2的n次方，也可以用动态规划法，时间复杂度为n的平方，实现起来相对要简单得多，但最方便的就是直接运用公式：排队的种数=(2n)!/[n!(n+1)!]。 　　如果不考虑电影院能否找钱，那么一共有(2n)!/[n!n!]种排队方法（即从2n个人中取出n个人的组合数），对于每一种排队方法，如果他会导致电影院无法找钱，则称为不合格的，这种的排队方法有(2n)!/[(n-1)!(n+1)!]（从2n个人中取出n-1个人的组合数）种，所以合格的排队种数就是(2n)!/[n!n!]-(2n)!/[(n-1)!(n+1)!]=(2n)!/[n!(n+1)!]。

     

       我们用简单的举例就可以判断这个答案是错误的，设N=2， a1,a2是有50美分的人，b1,b2是有1美元的人，那么总共有8种排队方法：

a1  a2  b1  b2

a1  a2  b2  b1

a1  b1  a2  b2

a1  b2  a2  b1

 

a2  a1  b1  b2

a2  a1  b2  b1

a2  b1  a1  b2

a2  b2  a1  b1

       与公式计算结果不符，公式是错误的。我的解法是这样：

       首先电影院让50美分和1美元的人分成2堆，从每堆里面各抽出一个人结成一对，这样总共有N*N种队，这个很简单。

       这样每队里面都有一个50美分和1美元的人，把这2个人随便插入到票房前，只要保证50美分的人排在1美元的人前面即可。这里我用一个祖玛游戏来说明

       

      

       把2个人像球一样射击出去随便插队，把N个队伍射击出去的组合有N!的种，所以总的排队情况有N*N*N!种，当N=2时共8种与我们上面举例的数量是一致的。
       N=3的情况有54种，我没有写出来例子来，当然仅用N=2来验证是不够严密的。