解析函数

如果函数$w=f(z)$在区域$D$内可微，则称$f(z)$为区域$D$内的解析函数，或称$f(z)$在区域$D$内解析

区域D内的解析函数，也成为$D$的全纯函数或正则函数。

若函数$f(z)$在点$z_{0}$不解析，但在$z_{0}$的任一邻域内总有$f(z)$的解析点，则称$z_{0}$为函数$f(z)$的奇点。

对于实变复值函数$z(t)=x(t)+iy(t)$有$z'(t)=x'(t)+iy'(t)$

柯西黎曼方程：

假设$w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$是复变元$z=x+iy$的一个定义在区域$D$内的函数，有

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

推导：

]可微定义

令$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在一点$z=x+iy$可微，而且设

$\underset{\Delta z\rightarrow 0}{lim}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=f'(x)$

又设$\Delta z=\Delta x+i\Delta y,f(z+\Delta z)-f(z)=\Delta u+i\Delta v$，其中

$\\ \Delta u=u(x+\Delta x,y+\Delta y)-u(x,y)\\
\Delta v=v(x+\Delta x,y+\Delta y)-v(x,y)$

即$\underset{\Delta x\rightarrow 0,\Delta y\rightarrow 0}{lim}\frac{\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}=f'(z)$

令$\Delta x=0$得到一个$f'(z)$方程，$\Delta y=0$得到一个$f'(z)$方程，比较一下.

可微的充要条件：

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在区域$D$有定义，则$f(z)$在$D$内一点$z=x+iy$可微的充要条件：

1.$u(x,y),v(x,y)$在点$(x,y)$可微。

2.满足C.R.方程

可微，可在单点或直线上可微，解析，一定要在一个点的整个邻域可微