复数

复数的模与辐角

$z= x+iy$

模长：

$r=\left | z \right |=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

辐角：

$tan\theta =\frac{y}{x}$

记为：

$\theta =Arg\ z$

称适合条件$-\pi < argz\leq \pi$为$Arg\ z$的主值，或称之为$z$的主辐角。

tips：$z=0$时，辐角无意义。

当$arg\ z$表示$z$的主辐角时，它与反正切$Arctan\frac{y}{x}$有如下关系：

注意$-\pi < argz\leq \pi$，$-\frac{\pi}{2}< arctan\frac{y}{x}<\frac{\pi}{2}$

$$arg\ z=
\left\{\begin{matrix}
& arctan\frac{y}{x},x>0\\
& \frac{\pi}{2},x=0,y>0\\
& arctan\frac{y}{x}+\pi,x<0,y\geq 0\\
& arctan\frac{y}{x}-\pi,x<0,y<0\\
& -\frac{\pi}{2},x=0,y<0
\end{matrix}\right.$$

单位复数：$z=cos\ \theta +isin\ \theta $

欧拉公式：$e^{i\theta}=cos\ \theta +isin\ \theta $

可以将任一复数表示成$z=re^{i\theta}$

即$z=\left | z \right |e^{iarg\ z}$

这里$arg\ z$不必取主值。

例：将复数$1-cos\ \varphi+sin\ \varphi \ \ (0<\varphi\leq \pi)$化为指数形式：

解：原式

$\\=2sin^{2}\frac{\varphi}{2}+2isin\frac{\varphi}{2}cos\frac{\varphi}{2}\\
=2sin\frac{\varphi}{2}\left [ sin\frac{\varphi}{2}+icos\frac{\varphi}{2} \right ]\\
=2sin\frac{\varphi}{2}\left [ cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\varphi}{2})+isin(\frac{\pi}{2}-\frac{\varphi}{2}) \right ]\\=2sin\frac{\varphi}{2}e^{(\frac{\pi}{2}-\frac{\varphi}{2})i}$

当$z=x+iy\neq 0,arg\ z=\theta $（主值），则

$tan\frac{\theta}{2}=\frac{sin\theta}{1+cos\theta}=\frac{rsin\theta}{r+rcos\theta}=\frac{y}{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$

所以$arg\ z=\theta $（主值）$=2arctan\frac{y}{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$

利用指数形式，容易得到

$\left | z_{1}z_{2} \right |=\left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|$

$\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right|=\frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{1}\right|}$

$Arg(z_{1}z_{2})=Arg\ z_{1}+Arg\ z_{2}$，$Arg(\frac{z_{1}}{z_{2}})=Arg\ z_{1}-Arg\ z_{2}$

$z_{1}z_{2}$所对应的向量是把$z_{1}$所对应的向量长度伸缩$r_{2}=\left|z_{2}\right|$倍，然后再旋转一个角度$\theta_{2}=arg\ z_{2}$得到的,

特别，$iz$相当于将$z$所对应的向量沿反时针方向旋转$\frac{\pi}{2}$，这里$i$称为旋转乘数，另外 $arg(\alpha z)=arg\ z,\ \alpha>0$

例：对于复数$\alpha, \beta$,若$\alpha\beta =0$,则$\alpha,\beta$至少有一个为0

证：若$\alpha\beta=0$,则必有$\left|\alpha\beta\right|=0$，因而$\left|\alpha\right|\left|\beta\right|=0$

       从而$\left|\alpha\right|,\left|\beta\right|$中至少一个为零。

复数的乘幂与方根：

考虑非零复数$z$的正整数次幂$z^{n}$

设$z=re^{i\theta}$

则$z^{n}=r^{n}e^{in\theta}=r^{n}(cos\ n\theta+isin\ n\theta)$

从而有$|z^{n}|=|z|^{n}$, $Arg\ z^{n}=nArg\ z$;

当$r=1$时，则得棣莫弗公式：$(cos\ \theta +i sin\ \theta)^{n}=cos\ n\theta +isin\ n\theta$.

求非零复数$z$的$n$次方根,相当于解二项方程：

$w^{n}=z$($n\geq 2$)

今记其根的整体为$\sqrt[n]{z}$

有$w_{k}=(\sqrt[n]{z})_{k}=\sqrt[n]{r}e^{i \frac{\theta+2k \pi}{n}}=e^{i \frac{2k \pi}{n}}\sqrt[n]{r}e^{i \frac{\theta}{n}}$