平衡二叉树中点的数量

平衡二叉树，又叫平衡二叉搜索树（Self-balancing binary search tree），其定义为：它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

由定义可知，对于一棵高度为n的树，其点最少的情况为：左子树与右子树中，一者为高为n的最小平衡二叉树，另一者为高为n - 1的最小平衡二叉树，因此，对于高度为n的平衡二叉树，其最少点的数量为：F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1，即左子树与右子树的点的数量的和，再加上根节点的1。递归的初始值为F(1) = 1, F(2) = 2。

而对于高度为n的平衡二叉树，点最大情况即为其为一棵满的二叉树的情况，即完美二叉树时（注意：不是完全二叉树，完全二叉树允许最后一行的点不满，但是需要位于左端），此时，点的数量为2 ^ n - 1。这里高度的定义方式为，最底层的高度为1，若最底层的高度为0的话，则n层的树的完美二叉树的点的数量为2 ^ (n + 1) - 1。