【数据结构】量子危机

问题

宇宙时间公元 5.55 亿年，由于某种原因两大联盟展开了激战（maxingc 联盟采用了微子技术）：
邪恶的 maxingc 联盟采集好了微子能，就要运输。Maxingc 联盟的领袖 xc 此时才发现，自己的军事基地中
由微子发射器组成的微子能量网存在很大的问题，于是他决定修改。
之前，TT 为了整齐，把军事基地建成了矩形，而且如果两个微子发射器的连线平行于军事基地的一边，这
两个微子发射器之间就一定有微子能量传输线相连。
(*注：比如有 3 个微子发射器A（1，1）、B（1，3）、C（2，2），那么 A 和 B 之间有微子能量传输线相连，
A 和 B 不能传输到 C。*)
但是在微子能运输过程中发现，常常不能从一个微子发射器运抵另一个微子发射器。
为了可以从任何一个微子传输器能运抵其它任意一个微子传输器，而且能和原来的微子能量网同样整齐，
TT 决定遵循原来的规则，调动他的百万农奴新修建一些微子能量传输线和微子发射器。由于微子发射器的
造价比微子传输线高得多，所以 TT 决定忽略微子能量传输线的成本。
但是 TT 又不想花费不必要的钱，所以找到你为他计算最少需要建多少个微子发射器。
输入格式  Input Format
第一行三个正整数 n、m、p。(2<=n,m<=100000，表示军事基地的两边长；2<=p<=200000，表示微子

发射器的个数。)
接下来 p行，每行两个正整数数 Xi、 Yi(1<=Xi<=n   1<=Yi<=m)，代表每个微子发射器在军事基地的位置。
（可能会由于疏漏，有些微子发射器重复）
输出格式  Output Format
样例:
 输入：5 6 6
1 1
2 2
2 4
3 3
5 1
5 5
输出：
2
只有一行，为最少修建微子发射器的数量。
样例的一种方案：
#.....
|#-#..
|.#+..
|.|...
#-+-#.
#表示原有微子发射器，-、|表示微子能量传输线，+表示兴建的微子发射器。所以至少兴建 2 个微子发射
器。

分析

我们先这样考虑，如果对所有已知的节点进行染色的话，能染成同一种颜色的节点一定在同一个强连通分量中(内部连同)，那么需要兴建的节点数就等于强连通分量数减一

我们来证明这个结论：对于任意一个节点它可以照顾到一行一列上的所有节点。也就是说，一个节点最多可以连接到4个强连通分量。如果一个兴建的节点只连接一个强连通分量，那么这个节点是毫无用处的。如果一个节点连接3个强连同分量，那么这3个强连通分量必有两个已经在一个强连通分量中。连接4个同理。只有当一个节点连接两个强连通分量时，才能让这两个原先不连通的分量相互连同。

这就类似于最小生成树，将兴建的节点看成边，原有的强连通分量看做节点，那么n个节点连成一颗生成树必然需要n-1个节点。

下面的问题就是如何染色。

如果用floodfill会很复杂，而且显然会超时。我们要考虑更加优秀的的算法。我们现在需要将在一个强连通分量中的原节点赋予同一个标识，并查集！

再加一个标记数组（n+m 表示某行或某列上是否有节点）。每读入一个节点我们就将其所在的行和列和并在一个集合中。这样就将一个强连同分量中的所有行和列合并在了同一个集合中。

最后，只需要枚举每行（列），如果该行（列）被标记过（在某个强连通分量中），那么找到它的根节点，累计总数并且标记当前强连通分量被访问过（应用并查集压缩路径后在同一个集合中的元素的祖先相同），只需标记其祖先即可。

program liukeke;
var
   f:array[1..400000] of longint;
   v:array[1..400000] of boolean;
   i,n,m,p,x,y,temp1,temp2,ans:longint;
   
function find(x:longint):longint;
begin
   if f[x]=x then exit(x);
   f[x]:=find(f[x]);
   exit(f[x]);
 end;
 
 begin
   assign(input,'wei.in');reset(input);
   assign(output,'wei.out');rewrite(output);
   readln(n,m,p);
   for i:=1 to n+m do f[i]:=i;
   for i:=1 to p do
   begin
    readln(x,y);
    temp1:=find(x);
    temp2:=find(y+n);
    if temp1<>temp2 then 
      f[temp1]:=temp2;
     v[x]:=true;
     v[y+n]:=true;
    end;
    for i:=1 to n+m do
      if v[i] then 
      begin
        temp1:=find(i);
        if v[temp1] then
        begin
          inc(ans);
          v[temp1]:=false;
        end;
      end;
    writeln(ans-1);
    close(input);
    close(output);
  end.
     

反思

要先对题目分析，抽象其模型，再选取合适的数据结构解决问题，并查集应用不多但都很巧妙，可用来判断逻辑关系和集合关系