【算法学习】【数据结构】treap的构建和使用
Treap的构建和使用
BY liukeke
一、定义
叶子我没有找到定义，只是满天飞的人们提到的词，Treap=Tree+Heap，就是让二叉排序树在Heap的规则下进行一些简单的翻转，由于Heap翻转所以靠的关键字段Aux是随机生成的，所以在满足BST的同时，平衡又是随即建立起来的，消除了BST由于有序数据的插入退化的情况，所以Treap在有些地方也被称作随机二叉树（Randomize Binary Sort Tree）
在Treap的翻转中，只有两种翻转：左旋和右旋，比起AVL树和扩展树（Splay Tree）的翻转要简单得多，少得多，很容易掌握。
而且由于随机化，不会出现退化现象，平均的插入、删除和查找效率都为![clip_image002[6]](http://images.cnblogs.com/cnblogs_com/liukeke/201104/201104140914442736.gif "clip_image002[6]"){kind=small}
。
其中，在每个节点上都增加了一个用于维持Heap特性的域Aux，且为随机值，定义如下：
Type
TTree = ^Tree;
Tree = Record
Data,Aux:longint;
Lch,Rch:TTree;
End;
Var Root:TTree;
二、实现
1、翻转
这里的翻转很简单，图示就能表示清楚。而且是两个互为镜像的操作。
记住，左旋是让P降落到比它小的位置上，右旋是让P降落到比它大的位置上。
右旋：
![clip_image003[7]](http://images.cnblogs.com/cnblogs_com/liukeke/201104/201104140914454330.gif "clip_image003[7]") |
P S
S P
3 1
1 2 2 3
左旋：
![clip_image004[6]](http://images.cnblogs.com/cnblogs_com/liukeke/201104/201104140914466937.gif "clip_image004[6]") |
P S
S P
1
2 3 1 2
代码如下。
Procedure Rotate_R(Var P:TTree);
Var S:TTree;
S:=P^.lch;
P^.lch:=S^.rch;
S^.rch:=P;
P:=S;
End;
Procedure Rotate_L(Var P:TTree);
Var S:TTree;
Begin
S:=P^.rch;
P^.rch:=S^.lch;
S^.lch:=P;
P:=S;
End;
2、插入
插入的时候，通过二分找到当前数据的位置，然后插入。插入之后，给当前节点的Aux域给一个随机值，然后根据这个随机值，对二叉树进行翻转，这里很像Heap（根的Aux值一定<=儿子的Aux），所以叫Treap。此处给出的是递归算法。（没有给出感觉上效率更高的迭代算法，是因为……我写不出来，太麻烦了）
Procedure Insert(Var r:TTree;x:longint);
Begin
If r=nil then
Begin
New(r); r^.data:=x; r^.Aux:=Random(MaxLongint);
R^.lch:=nil; r^.rch:=nil;
End
Else if x<r^.data then
Begin
Insert(r^.lch,x);
If r^.lch^.Aux<r^.Aux then Rotate_R(r);
End
Else begin
Insert(r^.rch,x);
If r^.rch^.Aux<r^.Aus then Rotate_L(r);
End;
End;
3、删除
删除和BST很相似，需要分类讨论。
情况一：没有儿子，直接删除；
情况二：有一个儿子，将儿子放在原来其所在位置；
情况三：有两个儿子，此时比较两个儿子随机值Aux的大小而进行旋转，向较大的一个儿子的方向旋转，将较小的儿子旋转上去。经过不停的旋转，到最后一定会转变为情况一或情况二（想想为什么？），然后进行删除，也是用递归写法。
Procedure Delete(Var P:TTree;x:longint);
Begin
If p=nil then exit;
if p^.data=x then
begin
If (p^.lch=nil) or (p^.lch=nil) then
Begin
If p^.rch=nil then P:=P^.lch else P:=P^.rch;
End
Else begin
If p^.lch^.Aux<p^.rch^.Aux then
Begin
Rotate_R(P);
Delete(p^.lch,x); //此时要删除的节点就成为了P的左儿子，下面同理。
End
Else begin
Rotate_L(P);
Delete(p^.rch,x);
End;
End;
End
Else
If x<p^.data then delete(p^.lch,x)
Else delete(p^.rch,x);
End;
需要说明的是，在这里，P一定要是在树上的指针，例如：Delete(var root^.lch,key)；否则对指针而言，下面的东西会丢失的。
其实用数组模拟指针是个很不错的办法，但是叶子我比较偏爱指针，所以都写的指针代码，感兴趣的可以看一下张后面附带的用数组写的Treap。
3、搜索。
搜索就完全和BST一模一样了，但是不会发生退化成链条的现象，这就是引入一点点小操作给BST带来的变革，也是一种简单的消除数据顺序对BST的影响，克服了缺点。
三、总结
相比较AVL树、红黑书和伸展树，Treap真的是小巧玲珑，理解简单，写起来也简单，所以他是一种很有的数据结构。
需要强调的是，最好在使用之前打开随机化开关Randomize；让随机的更全面，也就让它更灵活。
