【图论】【poj 1860】Currency Exchange

问题

Description
一些货币兑换点正在我们的城市工作。我们假设每个兑换点尤其擅长兑换两种特定的货币，并且只进行对这些货币的兑换。可能有一些兑换点专门兑换相同的货币对。每个兑换点都有自己的汇率，货币A到货币B的汇率是你用1货币A换到的货币B的数量。每个兑换点也有一些佣金，即为你需要为你的兑换行动支付的金额。佣金总是从源货币扣除。
例如，如果你想要在汇率为29.75，并且佣金为0.39的兑换点将100美元兑换成俄罗斯卢布，你将会得到（100-0.39）*29.75=2963.3975卢布。
你有N种不同的货币可以在我们的城市进行兑换。我们为每一种货币制定从1到N的唯一一个整数。每个兑换点可以用6个数字形容：整数A和B——它交换的货币（表示为货币A和货币B）；实数RAB，CAB，RBA和CBA——当它分别将货币A兑换成货币B和将货币B兑换成货币A时的汇率和佣金。
叫兽有一定数量的货币S，并且它希望它能以某种方式在一些兑换行动后增加它的资本。最后它的资金必须兑换为货币S。
帮助它解决这个棘手的问题。叫兽在进行它的兑换行动时资金总数必须始终非负。
Input
输入的第一行包含四个数字：N – 货币的数量，M – 兑换点的数量，S – 叫兽具有的货币种类，V – 叫兽具有的货币数量。
下面的M行每行包括6个数字 – 对相应的兑换点的描述。数字相隔一个或多个空格。1<=S<=N<=100，1<=M<=100，V是实数，0<=V<=10^3。
对于每个兑换点汇率和佣金都是实数，小数点后最多有两位小数。10^-2<=汇率<=10^2，0<=佣金<=10^2。
如果在一组兑换行动中没有兑换点被超过一次地使用，我们认为这组兑换行动是简单的。你可以认为最终数值和最初任何一个简单的兑换行动组的比例小于10^4。
Output
如果叫兽能增加它的财产，输出YES，否则输出NO。
Sample Input
3 2 1 20.0
1 2 1.00 1.00 1.00 1.00
2 3 1.10 1.00 1.10 1.00
Sample Output
YES
译者：Hzoi2008_叫兽

分析

我们可以把题目抽象成一个图，每种货币看成一个点，然后每个兑换点看成一条边，这样就可以构出一个图，显然图中有环。可以看成是一个最短路问题，用经典的spfa算法，逐次入队，只需要修改松弛的条件，思想是一样的。注意，要加上判断跳出的的语句，因为入队的条件是当前值比已产生的最优值还优。也就是说，如果存在可以获利的点的话，就会无限次入队。如果不存在则不会。由于图中所有的边都是双向的，很容易证明算法的正确性。

code

program liukee;
type lkj=record
     next:longint;
     a:double;
     b:double;
end;

var
  a:array[1..100,0..100] of lkj;
  visit:array[1..100] of boolean;
  tot:array[1..100] of longint;
  q:array[1..1000000] of longint;
  best:array[1..100] of double;
  n,m,st:longint;
  sum:double;

procedure init;
var
  i,x,y:longint;
  a1,b1,a2,b2:double;
begin
  readln(n,m,st,sum);
  for i:=1 to m do
  begin
    readln(x,y,a1,b1,a2,b2);
    inc(tot[x]);
    a[x,tot[x]].next:=y;
    a[x,tot[x]].a:=a1;
    a[x,tot[x]].b:=b1;
    inc(tot[y]);
    a[y,tot[y]].next:=x;
    a[y,tot[y]].a:=a2;
    a[y,tot[y]].b:=b2;
  end;
end;

procedure spfa;
var
  l,r,i,now:longint;
begin
  fillchar(visit,sizeof(visit),0);
  fillchar(q,sizeof(q),0);
  l:=0;r:=1;
  for i:=1 to n do  best[i]:=-maxlongint;
  best[st]:=sum;
  q[1]:=st;
  visit[st]:=true;
  while l<r do
  begin
    inc(l);
    now:=q[l];
    visit[now]:=false;
    for i:=1 to tot[now] do
      if best[a[now,i].next]<(best[now]-a[now,i].b)*a[now,i].a then
      begin
        best[a[now,i].next]:=(best[now]-a[now,i].b)*a[now,i].a;
            if best[st]>sum then
            begin
              writeln('YES');
              exit;
            end;
        if not visit[a[now,i].next] then
        begin
          inc(r);
          q[r]:=a[now,i].next;
          visit[q[r]]:=true;
        end;
      end;
  end;
  writeln('NO');
end;

begin
  init;
  spfa;
end.

反思

要善于对题目分析，将其转化为图论模型，及对经典算法的深刻理解和修改。