【原题】【noip 2003 T2】【动态规划】加分二叉树

问题

描述 Description

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（l,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：
subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数
若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。
试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；
（1）tree的最高加分
（2）tree的前序遍历

输入格式 Input Format

第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。
第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。

输出格式 Output Format

第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。
第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

 

分析

一看就是一道动态规划，而且是树形的。仔细分析题意我们发先中序遍历的遍历顺序是——左根右。也就是说，一旦根的位置在一个中序遍历之中确定，它的左边的序列就是它的左子树，右边就是右子树。那么整棵树的最优值就是左子树的最优值乘上右子树的最优值。

我们可以得到方程：f[i,j]表示中序遍历中i~j这棵子树能得到的最大加分 f[i,j]=max{f[i,k-1]*f[k+1,j]+f[k,k]}（i<=k<=j）方程一定要这么写，因为我们要考虑子树为空的情况，所以i到j中的任意一个点都可以作为这棵树的根。循环时要先循环区间长度l，这就类似于区间类的动态规划了，为什么呢。因为对于一个树形的动态规划，都是从下至上的。所以要先找到叶子节点，再逐层找到根节点。

边界处理：将所有空子树的值都赋为1。

反思

方程的正确性直接影响结果。有的时候方程不能改动，根题目的要求和数据结构有关，要保证方程的正确性，保证每一步的最优性。不同类型的动态规划有相同的地方，其宗旨是无后效性和子结构最优性。

code

program liukee;
var
  path,f:array[0..50,0..50] of longint;
  i,n,j,k,l:longint;

procedure outit(x,y:longint);
begin
  if x>y then exit;
  write(path[x,y],' ');
  outit(x,path[x,y]-1);
  outit(path[x,y]+1,y);
end;

begin
  filldword(f,sizeof(f)>>2,1);
  readln(n);
  for i:=1 to n do
  begin
    read(f[i,i]);
    path[i,i]:=i;
  end;
  for l:=2 to n do
    for i:=1 to n-1 do
      begin
          j:=i+l-1;
          for k:=i to j do
            if f[i,k-1]*f[k+1,j]+f[k,k]>f[i,j] then
            begin
	f[i,j]:=f[i,k-1]*f[k+1,j]+f[k,k];
                path[i,j]:=k;
            end;
       end;
  writeln(f[1,n]);
  outit(1,n);
end.