算法复杂度

★如何计算算法复杂度：
①乘法原则：
例子1：
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
sum++;
}
}
上面的代码中，for内循环执行了n次，这个for内循环被执行了n遍。所以这个代码的执行次数为n^{n，复杂度就是n}2。
例子2：
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i;j<=n;j++){
sum++;
}
}
上面的代码中，for内循环每次都要执循环n-i+1次，这个for内循环被执行了n遍。所以这个代码的执行次数为1+2+3+……+n=n(n+1)/2，复杂度就是n(n+1)/2。
②加法原则：
例子：
for(int i=1;i<=n;i++){
sum++;
}
for(int i=1;i<=m;i++){
sum++;
}
上面的代码中，第1个for循环执行了n次，第2个for循环执行了m次，
这段代码的执行次数为n+m，复杂度就是n+m；
★O记号：
n很大的时候，n^2和n(n+1)/2区别不太大,不需要那么精确，更关心量级。
O记号给我们提供了一种非常简单的方法来衡量复杂程度。可以理解为：
最坏情况下，代码执行总次数。
计算方法：
1.如果有多项相加，只保留最大项；
2.省略所有常数（自然数）。
例子：
①n(n+1)/2→O(n^2)
②3n+n^2+1→O(n2)
③211→O(1)（※注意：只有一个常数时，写为O(1)）
④23*n^{123-1000*n+100→O(n}123)
★常见的算法复杂度：
O(1) 表示算法的运行时间为常数。 常数阶
O(n) 表示该算法是线性算法。 线性阶
O(log n) 二分搜索算法。 对数阶
O(n log n) 快速排序算法。 线性对数阶
O(n^2) 对数组进行排序的各种简单算法，例如直接插入排序的算法。 平方阶
O(n^3) 做两个n阶矩阵的乘法运算。 立方阶
O(2^n) 求具有n个元素集合的所有子集的算法。 指数阶
O(n!) 求具有n个元素的全排列的算法。 阶乘阶
O(1)<O(log n)<O(n)<O(n log n)<O(n^2)<O(n3)<O(2^n)<O(n!)