LeetCode 172. Factorial Trailing Zeroes

Given an integer n, return the number of trailing zeroes in n!.

Note: Your solution should be in logarithmic time complexity.

Credits:
Special thanks to @ts for adding this problem and creating all test cases.

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【题目分析】

这个题目是什么意思呢？

给定一个数n，求n！这个数尾部0的个数，要求用log(n)时间复杂度的方法来解决。

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【思路】

1. 一个数中尾部的0是怎么来的呢？

一个数x可以写成y*10^p的形式，10的个数就是0的个数，那么10又是怎么来的呢？ 10=2*5。所以一个数尾部0的个数取决于对这个数做质因数分解后2和5的个数，一个（2,5）对相乘得到一个10，会在这个数的尾部添加一个0。

2. 如何计算一个数中（2,5）对的个数呢？

对这个数进行质因数分解，取min(num(2),num(5))。

对n!做质因数分解n!=2^x*3^y*5^z*...

显然0的个数等于min(x,z)，并且min(x,z)==z

证明：

对于阶乘而言，也就是1*2*3*...*n
[n/k]代表1~n中能被k整除的个数
那么很显然
[n/2] > [n/5] (左边是逢2增1，右边是逢5增1)
[n/2^2] > [n/5^2](左边是逢4增1，右边是逢25增1)
……
[n/2^p] > [n/5^p](左边是逢2^p增1，右边是逢5^p增1)
随着幂次p的上升，出现2^p的概率会远大于出现5^p的概率。
因此左边的加和一定大于右边的加和，也就是n!质因数分解中，2的次幂一定大于5的次幂，所以我们只要求出对n!进行质因数分解以后包含的5的个数即可。

3. 如何求n！质因数分解后包含的5的个数呢？

在1,2,3，。。。，n中，我们先求出能被5整除的数的个数，然后把这些数中包含的所有5都找出来。

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【java代码】

public class Solution {
    public int trailingZeroes(int n) {
        int count = 0;
        
        while(n/5 != 0) {
            count += n/5;
            n /= 5;
        }
        return count;
    }
}