LeetCode 172. Factorial Trailing Zeroes

Given an integer n, return the number of trailing zeroes in n!.

Note: Your solution should be in logarithmic time complexity.

Credits:
Special thanks to @ts for adding this problem and creating all test cases.


【题目分析】

这个题目是什么意思呢?

给定一个数n,求n!这个数尾部0的个数,要求用log(n)时间复杂度的方法来解决。


【思路】

1. 一个数中尾部的0是怎么来的呢?

一个数x可以写成y*10^p的形式,10的个数就是0的个数,那么10又是怎么来的呢? 10=2*5。所以一个数尾部0的个数取决于对这个数做质因数分解后2和5的个数,一个(2,5)对相乘得到一个10,会在这个数的尾部添加一个0。

2. 如何计算一个数中(2,5)对的个数呢?

对这个数进行质因数分解,取min(num(2),num(5))。

对n!做质因数分解n!=2x*3y*5z*...

显然0的个数等于min(x,z),并且min(x,z)==z

证明:

对于阶乘而言,也就是1*2*3*...*n
[n/k]代表1~n中能被k整除的个数
那么很显然
[n/2] > [n/5] (左边是逢2增1,右边是逢5增1)
[n/2^2] > [n/5^2](左边是逢4增1,右边是逢25增1)
……
[n/2^p] > [n/5^p](左边是逢2^p增1,右边是逢5^p增1)
随着幂次p的上升,出现2^p的概率会远大于出现5^p的概率。
因此左边的加和一定大于右边的加和,也就是n!质因数分解中,2的次幂一定大于5的次幂,所以我们只要求出对n!进行质因数分解以后包含的5的个数即可。

3. 如何求n!质因数分解后包含的5的个数呢?

在1,2,3,。。。,n中,我们先求出能被5整除的数的个数,然后把这些数中包含的所有5都找出来。


【java代码】

 1 public class Solution {
 2     public int trailingZeroes(int n) {
 3         int count = 0;
 4         
 5         while(n/5 != 0) {
 6             count += n/5;
 7             n /= 5;
 8         }
 9         return count;
10     }
11 }

 

posted @ 2016-11-01 15:32  Black_Knight  阅读(140)  评论(0编辑  收藏  举报