快速幂运算
快速幂(Exponentiation by squaring,平方求幂)是一种简单而有效的小算法,它可以以的时间复杂度计算乘方。快速幂不仅本身非常常见,而且后续很多算法也都会用到快速幂。
让我们先来思考一个问题:7的10次方,怎样算比较快?
方法1:最朴素的想法,7*7=49,49*7=343,... 一步一步算,共进行了9次乘法。
这样算无疑太慢了,尤其对计算机的CPU而言,每次运算只乘上一个个位数,无疑太屈才了。这时我们想到,也许可以拆分问题。
方法2:先算7的5次方,即7*7*7*7*7,再算它的平方,共进行了5次乘法。
但这并不是最优解,因为对于“7的5次方”,我们仍然可以拆分问题。
方法3:先算7*7得49,则7的5次方为49*49*7,再算它的平方,共进行了4次乘法。
模仿这样的过程,我们得到一个在 时间内计算出幂的算法,也就是快速幂。
递归快速幂
刚刚我们用到的,无非是一个二分的思路。我们很自然地可以得到一个递归方程:
计算a的n次方,如果n是偶数(不为0),那么就先计算a的n/2次方,然后平方;如果n是奇数,那么就先计算a的n-1次方,再乘上a;递归出口是a的0次方为1。
递归快速幂的思路非常自然,代码也很简单(直接把递归方程翻译成代码即可):
//递归快速幂 int qpow(int a, int n) { if (n == 0) return 1; else if (n % 2 == 1) return qpow(a, n - 1) * a; else { int temp = qpow(a, n / 2); return temp * temp; } }
注意,这个temp变量是必要的,因为如果不把记录下来,直接写成qpow(a, n /2)*qpow(a, n /2),那会计算两次
,整个算法就退化为了
。
在实际问题中,题目常常会要求对一个大素数取模,这是因为计算结果可能会非常巨大,但是在这里考察高精度又没有必要。这时我们的快速幂也应当进行取模,此时应当注意,原则是步步取模,如果MOD较大,还应当开long long。
//递归快速幂(对大素数取模) #define MOD 1000000007 typedef long long ll; ll qpow(ll a, ll n) { if (n == 0) return 1; else if (n % 2 == 1) return qpow(a, n - 1) * a % MOD; else { ll temp = qpow(a, n / 2) % MOD; return temp * temp % MOD; } }
大家知道,递归虽然简洁,但会产生额外的空间开销。我们可以把递归改写为循环,来避免对栈空间的大量占用,也就是非递归快速幂。
非递归快速幂
我们换一个角度来引入非递归的快速幂。还是7的10次方,但这次,我们把10写成二进制的形式,也就是 。
现在我们要计算 ,可以怎么做?我们很自然地想到可以把它拆分为
. 实际上,对于任意的整数,我们都可以把它拆成若干个
的形式相乘。而这些
,恰好就是
、
、
……我们只需不断把底数平方就可以算出它们。
我们先看代码,再来仔细推敲这个过程:
//非递归快速幂 int qpow(int a, int n){ int ans = 1; while(n){ if(n&1) //如果n的当前末位为1 ans *= a; //ans乘上当前的a a *= a; //a自乘 n >>= 1; //n往右移一位 } return ans; }
最初ans为1,然后我们一位一位算:
1010的最后一位是0,所以a^1这一位不要。然后1010变为101,a变为a^2。
101的最后一位是1,所以a^2这一位是需要的,乘入ans。101变为10,a再自乘。
10的最后一位是0,跳过,右移,自乘。
然后1的最后一位是1,ans再乘上a^8。循环结束,返回结果。
这里的位运算符,>>是右移,表示把二进制数往右移一位,相当于/2;&是按位与,&1可以理解为取出二进制数的最后一位,相当于%2==1。这么一等价,是不是看出了递归和非递归的快速幂的关系了?虽然非递归快速幂因为牵扯到二进制理解起来稍微复杂一点,但基本思路其实和递归快速幂没有太大的出入。