42-MST&Prim&Kruskal
1. 最小生成树
- 【加权图】一种为每条边关联一个权值的图模型；
- 【图的生成树】是该连通图的一个极小连通子图，含有图的全部顶点，但只有构成一棵树的(n-1)条边；
- 【加权图的最小生成树(MST)】在生成树的基础上，要求树的(n-1)条边的权值之和是最小的；
约定：
- 只考虑连通图
- 根据树的基本性质，我们要找的就是一个由V-1条边组成的集合，他们既连通了图中的所有顶点而权值之和又最小；
- 如果一幅图是非连通的，我们只能使用这个算法来计算它的所有连通分量的最小生成树，合并在一起称其为"最小生成森林"；
- 边的权重可能是 0 或者负数；所有边的权重都各不相同（如果可以相同，MST就不一定唯一了）。
计算 MST 的两种算法：
- Prim 算法
- Kruskal 算法
典型应用场景#修路问题：
2. Prim 算法
2.1 思路分析
- 从任意一个顶点开始，每次选择一个与 当前顶点集 最近的一个顶点，并将两顶点之间的边加入到顶点集中。然后继续找 离更新后的这个顶点集 最近的顶点 ....，就这么找下去，找够 n-1 条边；
- {顶点集} 是逐渐增大的；
- 找 {当前最近顶点} 时使用到了贪婪算法；
- 设 G=(V,E) 是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合；
- 若从 顶点u 开始构造最小生成树，则从 集合V 中取出 顶点u 放入 集合U 中，标记 顶点v 的 visited[u]=1；
- 若 集合U 中 顶点ui 与 集合V-U 中的 顶点vj 之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将 顶点vj 加入 集合U 中，将 边(ui,vj) 加入 集合D 中，标记 visited[vj]=1；
- 重复步骤②，直到 U 与 V 相等，即 所有顶点 都被标记为访问过，此时 D 中有 n-1 条边。
2.2 代码实现
public class PrimDemo {
public static void main(String[] args) {
char[] datas = new char[] {'A','B','C','D','E','F','G'};
int vertexs = datas.length;
// 邻接矩阵 (∵ 是加权边 ∴ 表示两个顶点不连通得用个大数而非0)
int[][] weightEdges = new int[][] {
{10000,5,7,10000,10000,10000,2},
{5,10000,10000,9,10000,10000,3},
{7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
{10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
{10000,10000,8,10000,10000,5,4},
{10000,10000,10000,4,5,10000,6},
{2,3,10000,10000,4,6,10000}
};
MST mst = new MST();
mst.createGraph(vertexs, datas, weightEdges);
mst.showGraph();
mst.prim(4);
}
}
class MST {
private Graph graph;
public void createGraph(int vertexs, char[] datas, int[][] weightEdges) {
graph = new Graph(vertexs);
int i, j;
for(i = 0; i < vertexs; i++) {
graph.datas[i] = datas[i];
for(j = 0; j < vertexs; j++)
graph.weightEdges[i][j] = weightEdges[i][j];
}
}
/**
* 普利姆算法
* @param v 从图的 v顶点 开始生成MST E.G. 'A' → 0, 'B' → 1 ...
*/
public void prim(int v) {
// 标记 顶点是否已被访问
int[] visited = new int[graph.vertexs];
// 把当前结点标记为 1
visited[v] = 1;
// 记录选定的2个顶点的索引
int h1 = -1;
int h2 = -1;
int minWeight = 10000;
// n个顶点, 找出 n-1 条边
for(int k = 1; k < graph.vertexs; k++) {
// 双重for: 确定 [新一次生成的子图(图越来越大)] 中, 哪两个顶点的权值最小
// ~ 顶点i 表示被访问的结点(也同是子图中的顶点)
for(int i = 0; i < graph.vertexs; i++) {
// ~ 顶点j 表示还没有被访问的结点
for(int j = 0; j < graph.vertexs; j++) {
// 子图越来越大, 需要if的次数也越来越多
if(visited[i] == 1 && visited[j] == 0
&& graph.weightEdges[i][j] < minWeight) {
minWeight = graph.weightEdges[i][j];
h1 = i;
h2 = j;
}
}
}
System.out.printf("<%c, %c>\tweight = %d\n"
, graph.datas[h1], graph.datas[h2], minWeight);
visited[h2] = 1;
minWeight = 10000;
}
}
public void showGraph() {
graph.showGraph();
}
}
class Graph {
int vertexs; // 图中顶点个数
char[] datas; // 顶点的值
int[][] weightEdges; // 加权边
public Graph(int vertexs) {
this.vertexs = vertexs;
datas = new char[vertexs];
weightEdges = new int[vertexs][vertexs];
}
public void showGraph() {
for(int[] link : weightEdges)
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
3. Kruskal 算法
Prim 算法是从 [顶点] 的角度来刻画生成树的，Kruskal 算法则是从 [边] 的角度来进行刻画的。
基本思想：按照权值从小到大的顺序选择 n-1 条边，并保证这 n-1 条边不构成回路。
具体做法：首先构造一个只含 n 个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。
3.1 整个过程
- 将边 <E,F> 加入 R 中：边 <E,F> 的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中；
- 将边 <C,D>加入 R 中：上一步操作之后，边 <C,D> 的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中；
- 将边 <D,E> 加入 R 中：上一步操作之后，边 <D,E> 的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中；
- 将边 <B,F> 加入 R 中：上一步操作之后，边 <C,E> 的权值最小，但 <C,E> 会和已有的边构成回路；因此，跳过边 <C,E>。同理，跳过边 <C,F>。将边 <B,F> 加入到最小生成树结果 R 中；
- 将边 <E,G> 加入 R 中：上一步操作之后，边 <E,G> 的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中；
- 将边 <A,B> 加入 R 中：上一步操作之后，边 <F,G> 的权值最小，但 <F,G> 会和已有的边构成回路；因此，跳过边 <F,G>。同理，跳过边 <B,C>。将边 <A,B> 加入到最小生成树结果 R 中；
此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
3.2 延伸问题
a. 按权值给边排序
- 采用排序算法，我这里就无脑bubble了
- 还得给 '边' 整个数据结构(EdgeData)
- '边' 这头的顶点 - v1
- '边' 另一头的顶点 - v2
- '边' 的权值 - weight
b. 判断是否构成回路
- 树的双亲表示法
- 大概说下什么是 [并查集]
- 上面和判断构成回路有啥关系？
- 交并集 是 一个用 双亲表示法 所表示的 森林
- 可以利用这个结构来查找某一个顶点的双亲，进而找到根结点。这样，我们就能判断某两个顶点是否同源，在图中的表现就是加上这条边后会不会构成回路
- {并查集} 以 顶点 为基准，有几个顶点，就有几项
- 这里适用与顶点编号连续的情况；这样在 {并查集} 中，数组的下标就对应顶点的编号，数组的值就是这个顶点所在的双亲。这就是树的双亲表示法。高效率地利用数组下标
- 【BTW】下面提到的 "根" 和 "终点" 是一码事
3.3 算法步骤
- 将 边(EdgeData)构成的数组 按照权值，从小到大排序；
- 对 { 并查集ends[] } 进行初始化，即把每一个位置中的值初始化为其对应下标；
- 选取 EdgeData[] 的第1项，查询该边所对应的顶点在 ends 中是否同源，同源则进行5，不同源则进行4；
- 若不同源，则把该边加入生成树，并修改 ends[v1的根] = v2的根；
- 若同源，则跳过，继续遍历EdgeData[]；
- 重复4~5，直到存储结构中所有的项被遍历；
3.4 代码实现
public class KruskalCase {
private int edgeNum;
private char[] vertexs;
private int[][] weightEdges;
private EdgeData[] MST;
// 使用 INF 表示 两个顶点不能连通
private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;
public static void main(String[] args) {
char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
// 0 表示自连; * 表示连通; INF 表示不连通
int weightEdges[][] = {
/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
/*A*/ { 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
/*B*/ { 12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
/*C*/ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
/*D*/ { INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
/*E*/ { INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
/*F*/ { 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
/*G*/ { 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}
};
KruskalCase kc = new KruskalCase(vertexs, weightEdges);
kc.printMatrix();
kc.kruskal();
kc.printMST();
}
// 构造器 (copy)
public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] weightEdges) {
// 初始化 顶点
int vLen = vertexs.length;
this.vertexs = new char[vLen];
// 初始化 MST
MST = new EdgeData[vLen-1];
for(int i = 0; i < vertexs.length; i++)
this.vertexs[i] = vertexs[i];
// 初始化 matrix
this.weightEdges = new int[vLen][vLen];
for(int i = 0; i < vLen; i++)
for(int j = 0; j < vLen; j++)
this.weightEdges[i][j] = weightEdges[i][j];
// 统计 edge 数目
for(int i = 0; i < vLen; i++)
for(int j = i + 1; j < vLen; j++)
if(weightEdges[i][j] != INF)
edgeNum ++;
}
public void kruskal() {
// 表示最后结果数组的索引
int index = 0;
// 用于保存 <已有~最小生成树> 中每个顶点在MST的双亲
int[] ends = new int[edgeNum];
for(int i = 0; i < ends.length; i++)
ends[i] = i;
// 获取 图 中所有的边的集合
EdgeData[] edges = getEdges();
sortEdges(edges);
// 将 edge 添加到 MST
for(int i = 0; i < edgeNum; i++) {
// a. 获取 edge-i 的一头
int v1 = getPosition(edges[i].start);
// b. 获取 edge-i 的另一头
int v2 = getPosition(edges[i].end);
// c. 获取 v1 在 <已有~最小生成树> 中的终点
int m = getEnd(ends, v1);
// d. 获取 v2 在 <已有~最小生成树> 中的终点
int n = getEnd(ends, v2);
// e. 判断准备加入的 edge 是否构成 回路
if(m != n) { // 不构成回路
ends[m] = n; // 将 v1 在 <已有~最小生成树> 中的终点 更新为 v2 的终点
MST[index++] = edges[i];
}
// 边数够了就没必要再继续下去了, 反正之后的边也肯定会构成回路
if(index == MST.length) break;
}
}
public void printMST() {
System.out.println("最小生成树: ");
for(int i = 0; i < MST.length; i++)
System.out.println(MST[i]);
}
public void printMatrix() {
System.out.println("matrix: ");
for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {
for(int j = 0; j < vertexs.length; j++)
System.out.printf("%12d\t", weightEdges[i][j]);
System.out.println();
}
}
/**
* 根据 顶点v的数据值 找到其对应的索引
* @param v 顶点的数据值
* @return 找不到返回 -1
*/
private int getPosition(char v) {
for(int i = 0; i < vertexs.length; i++)
if(vertexs[i] == v)
return i;
return -1;
}
private void sortEdges(EdgeData[] edges) {
EdgeData temp;
for(int i = 0; i < edgeNum - 1; i++)
for(int j = 0; j < edgeNum - 1 - i; j++)
if(edges[j].weight > edges[j+1].weight) {
temp = edges[j];
edges[j] = edges[j+1];
edges[j+1] = temp;
}
}
private EdgeData[] getEdges() {
EdgeData[] edges = new EdgeData[edgeNum];
int index = 0;
for(int i = 0; i < vertexs.length; i++)
// 关于主对角线对称
for(int j = i + 1; j < vertexs.length; j++)
if(weightEdges[i][j] != INF)
edges[index++] = new EdgeData(vertexs[i], vertexs[j], weightEdges[i][j]);
return edges;
}
/**
* 获取索引为 i 的顶点的终点(是终点!!!不是双亲!!!)
* @param i
* @param ends 记录了各个顶点对应的双亲!(该数组是逐步形成的)
* @return 索引为i的顶点 对应的 终点的索引
*/
private int getEnd(int[] ends, int i) {
// 如果ends[v] = v, 则它就是根; 否则就让v = ends[v], 向上寻找, 直到其相等
while(ends[i] != i)
i = ends[i];
return i;
}
}
class EdgeData {
// 边的两头上的点
char start;
char end;
// 边的权重
int weight;
public EdgeData(char start, char end, int weight) {
super();
this.start = start;
this.end = end;
this.weight = weight;
}
@Override
public String toString() {
return "[" + start + ", " + weight + ", " + end + "]";
}
}
3.5 review
- 判断构成回路
- 如果不构成回路，ends[m] = n
