11-迷宫 & 八皇后
1. 迷宫回溯问题
1.1 代码实现
public class Maze {
public static void main(String[] args) {
int[][] map = new int[8][7];
initWall(map);
setWay(map, 1, 1);
for (int i = 0; i < 8; i++) {
for (int j = 0; j < 7; j++)
System.out.print(map[i][j] + "\t");
System.out.println();
}
}
/**
* 使用递归回溯来给小球找路
* [策略] 下 → 右 → 上 → 左
* map[i][j]
* = 0：该位置 没走过
* = 1：该位置 是墙
* = 2：该位置 ∈ 通路
* = 3：该位置 已经走过, 但是走不通
* @param map 迷宫地图
* @param i 初始位置 横坐标
* @param j 初始位置 纵坐标
* @return 找到通路则返回true; 否则返回false
*/
public static boolean setWay(int[][] map, int i, int j) {
// [递归终止条件] destination: map[6][1]
if (map[6][1] == 2) {
return true;
} else {
if (map[i][j] == 0) { // 没来过的点, 按 [策略] 走
// [base] 先假设该点是通路上的一点
map[i][j] = 2;
if (setWay(map, i+1, j)) { // 向下走
return true;
} else if (setWay(map, i, j+1)) { // 向右走
return true;
} else if (setWay(map, i-1, j)) { // 向上走
return true;
} else if (setWay(map, i, j-1)) { // 向左走
return true;
} else {
// 到这了就说明前面的假设是错误的！从当前点出发, 往哪走都是死路一条
map[i][j] = 3;
return false;
}
} else { // = 1(墙), 2(就从这来的, 总不能往回走吧), 3(死路)
return false;
}
}
}
public static void initWall(int[][] map) {
int line = map.length; // 8
int column = map[0].length; // 7
// 上下
for (int i = 0; i < column; i++) {
map[0][i] = 1;
map[line-1][i] = 1;
}
// 左右
for (int i = 0; i < line; i++) {
map[i][0] = 1;
map[i][column-1] = 1;
}
// 琐碎
map[3][1] = 1;
map[3][2] = 1;
map[2][2] = 1;
}
}
1.2 递归过程
1.3 控制台打印
2. 八皇后问题
2.1 问题概述
八皇后问题是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于 1848 年提出：在 8×8 格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即：任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。
2.2 思路分析
- 第一个皇后先放第一行第一列；
- 第二个皇后放在第二行第一列、然后判断是否 OK， 如果不 OK，继续放在第二列、第三列、依次把所有列都放完，找到一个合适；
- 继续第三个皇后，还是第一列、第二列…… 直到第 8 个皇后也能放在一个不冲突的位置，算是找到了一个正确解；
- 当得到一个正确解时，在栈回退到上一个栈时，就会开始回溯，即将第一个皇后，放到第一列时的所有正确解，全部得到；
- 然后回头继续第一个皇后放第二列，后面继续循环执行 1,2,3,4 的步骤。
2.3 代码实现
/*
* 理论上应该创建一个二维数组来表示棋盘, 但是实际上可以通过算法用一个
* 一维数组即可解决问题，假设 array[8] = {0, 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3},
* 其中 array[i] = value 表示第 i+1 个皇后放在第 i+1 行的第 value+1 列
*/
public class EightQueens {
// 表示共有多少个皇后
int max = 8;
// 保存皇后放置位置, 比如上面的 array[8]
int[] array = new int[max];
public static void main(String[] args) {
EightQueens e = new EightQueens();
e.setQueen(0); // 92种解法
}
// 放置 Queen
public void setQueen(int n) {
// [终止条件] n = 8, 说明 [0]~[7] 个 Queen 已经放好了
if (n == max) {
print8Queens();
return;
}
/*
* 依次放入 Queen, 判断是否冲突
* 每次递归调用 setQueen, 都会有一次 for 循环, 因此会有回溯
*/
for (int i = 0; i < max; i++) {
// 先把当前皇后 n, 放到该行的第 1 列
array[n] = i;
// 判断当放置〈皇后n〉到第 i 列时, 是否冲突
if (checkPosition(n)) { // 不冲突
setQueen(n+1); // 接着放置〈皇后n+1〉, 即开始递归
} // 如果〈皇后n〉放在哪都不行，则会回溯到上一个皇后，让其 for 循环到下一个位置
}
}
/**
* 判断是否冲突: 检测 Queen 的当前位置是否和前面摆放的 Queens 是否冲突
* @param n 第n个皇后 (从0开始数的)
* @return 冲突则返回true; 反之false
*/
public boolean checkPosition(int n) {
/*
* 1. array[i] == array[n] 在同一列
* 2. 无需判断在同一行，这是不可能的
* 3. Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n]-array[i]) 在同一斜线
* n-i: 行
* array[n]-array[i]: 列
*/
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (array[i] == array[n] || Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n]-array[i]))
return false;
return true;
}
}
// 打印皇后摆放位置
public void print8Queens() {
for (int i = 0; i < array.length; i++)
System.out.print(array[i] + " ");
System.out.println();
}
}
2.4 递归过程
第1个皇后放在第1列 √
第2个皇后放在第1列 ×
第2个皇后放在第2列 ×
第2个皇后放在第3列 √
第3个皇后放在第1列 ×
第3个皇后放在第2列 ×
第3个皇后放在第3列 ×
第3个皇后放在第4列 ×
第3个皇后放在第5列 √
第4个皇后放在第1列 ×
第4个皇后放在第2列 √
第5个皇后放在第1列 ×
第5个皇后放在第2列 ×
第5个皇后放在第3列 ×
第5个皇后放在第4列 √
第6个皇后放在第1列 ×
第6个皇后放在第2列 ×
第6个皇后放在第3列 ×
第6个皇后放在第4列 ×
第6个皇后放在第5列 ×
第6个皇后放在第6列 ×
第6个皇后放在第7列 ×
第6个皇后放在第8列 ×
第5个皇后放在第5列 ×
第5个皇后放在第6列 ×
第5个皇后放在第7列 ×
第5个皇后放在第8列 √
第6个皇后放在第1列 ×
第6个皇后放在第2列 ×
第6个皇后放在第3列 ×
第6个皇后放在第4列 ×
第6个皇后放在第5列 ×
第6个皇后放在第6列 ×
第6个皇后放在第7列 ×
第6个皇后放在第8列 ×
第4个皇后放在第3列 ×
第4个皇后放在第4列 ×
第4个皇后放在第5列 ×
第4个皇后放在第6列 ×
第4个皇后放在第7列 √
第5个皇后放在第1列 ×
第5个皇后放在第2列 √
第6个皇后放在第1列 ×
第6个皇后放在第2列 ×
第6个皇后放在第3列 ×
第6个皇后放在第4列 √
第7个皇后放在第1列 ×
第7个皇后放在第2列 ×
第7个皇后放在第3列 ×
第7个皇后放在第4列 ×
第7个皇后放在第5列 ×
第7个皇后放在第6列 √
第8个皇后放在第1列 ×
第8个皇后放在第2列 ×
第8个皇后放在第3列 ×
第8个皇后放在第4列 ×
第8个皇后放在第5列 ×
第8个皇后放在第6列 ×
第8个皇后放在第7列 ×
第8个皇后放在第8列 ×
第7个皇后放在第7列 ×
第7个皇后放在第8列 ×
第6个皇后放在第5列 ×
第6个皇后放在第6列 ×
第6个皇后放在第7列 ×
第6个皇后放在第8列 ×
第5个皇后放在第3列 ×
第5个皇后放在第4列 √
第6个皇后放在第1列 ×
第6个皇后放在第2列 ×
第6个皇后放在第3列 ×
第6个皇后放在第4列 ×
第6个皇后放在第5列 ×
第6个皇后放在第6列 ×
第6个皇后放在第7列 ×
第6个皇后放在第8列 ×
第5个皇后放在第5列 ×
第5个皇后放在第6列 ×
第5个皇后放在第7列 ×
第5个皇后放在第8列 ×
第4个皇后放在第8列 √
第5个皇后放在第1列 ×
第5个皇后放在第2列 √
第6个皇后放在第1列 ×
第6个皇后放在第2列 ×
第6个皇后放在第3列 ×
第6个皇后放在第4列 √
...
2.5 控制台打印
0 4 7 5 2 6 1 3
0 5 7 2 6 3 1 4
0 6 3 5 7 1 4 2
0 6 4 7 1 3 5 2
1 3 5 7 2 0 6 4
1 4 6 0 2 7 5 3
1 4 6 3 0 7 5 2
1 5 0 6 3 7 2 4
1 5 7 2 0 3 6 4
1 6 2 5 7 4 0 3
1 6 4 7 0 3 5 2
1 7 5 0 2 4 6 3
2 0 6 4 7 1 3 5
2 4 1 7 0 6 3 5
2 4 1 7 5 3 6 0
2 4 6 0 3 1 7 5
2 4 7 3 0 6 1 5
2 5 1 4 7 0 6 3
2 5 1 6 0 3 7 4
2 5 1 6 4 0 7 3
2 5 3 0 7 4 6 1
2 5 3 1 7 4 6 0
2 5 7 0 3 6 4 1
2 5 7 0 4 6 1 3
2 5 7 1 3 0 6 4
2 6 1 7 4 0 3 5
2 6 1 7 5 3 0 4
2 7 3 6 0 5 1 4
3 0 4 7 1 6 2 5
3 0 4 7 5 2 6 1
3 1 4 7 5 0 2 6
3 1 6 2 5 7 0 4
3 1 6 2 5 7 4 0
3 1 6 4 0 7 5 2
3 1 7 4 6 0 2 5
3 1 7 5 0 2 4 6
3 5 0 4 1 7 2 6
3 5 7 1 6 0 2 4
3 5 7 2 0 6 4 1
3 6 0 7 4 1 5 2
3 6 2 7 1 4 0 5
3 6 4 1 5 0 2 7
3 6 4 2 0 5 7 1
3 7 0 2 5 1 6 4
3 7 0 4 6 1 5 2
3 7 4 2 0 6 1 5
4 0 3 5 7 1 6 2
4 0 7 3 1 6 2 5
4 0 7 5 2 6 1 3
4 1 3 5 7 2 0 6
4 1 3 6 2 7 5 0
4 1 5 0 6 3 7 2
4 1 7 0 3 6 2 5
4 2 0 5 7 1 3 6
4 2 0 6 1 7 5 3
4 2 7 3 6 0 5 1
4 6 0 2 7 5 3 1
4 6 0 3 1 7 5 2
4 6 1 3 7 0 2 5
4 6 1 5 2 0 3 7
4 6 1 5 2 0 7 3
4 6 3 0 2 7 5 1
4 7 3 0 2 5 1 6
4 7 3 0 6 1 5 2
5 0 4 1 7 2 6 3
5 1 6 0 2 4 7 3
5 1 6 0 3 7 4 2
5 2 0 6 4 7 1 3
5 2 0 7 3 1 6 4
5 2 0 7 4 1 3 6
5 2 4 6 0 3 1 7
5 2 4 7 0 3 1 6
5 2 6 1 3 7 0 4
5 2 6 1 7 4 0 3
5 2 6 3 0 7 1 4
5 3 0 4 7 1 6 2
5 3 1 7 4 6 0 2
5 3 6 0 2 4 1 7
5 3 6 0 7 1 4 2
5 7 1 3 0 6 4 2
6 0 2 7 5 3 1 4
6 1 3 0 7 4 2 5
6 1 5 2 0 3 7 4
6 2 0 5 7 4 1 3
6 2 7 1 4 0 5 3
6 3 1 4 7 0 2 5
6 3 1 7 5 0 2 4
6 4 2 0 5 7 1 3
7 1 3 0 6 4 2 5
7 1 4 2 0 6 3 5
7 2 0 5 1 4 6 3
7 3 0 2 5 1 6 4
