P6156 简单题 题解

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题目大意#

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给定 n,k,求 i=1nj=1n(i+j)kgcd(i,j)μ2(gcd(i,j))

1n5×106

题目分析#

先推导一波式子:

ans=i=1nj=1n(i+j)kgcd(i,j)μ2(gcd(i,j))=t=1ntk+1μ2(t)i=1nj=1n(i+j)k[gcd(i,j)=t]=t=1ntk+1μ2(t)i=1ntj=1nt(i+j)kd|i,d|jμ(d)=t=1ntk+1μ2(t)d=1ntdkμ(d)i=1ntdj=1ntd(i+j)k

S(n)=i=1nj=1n(i+j)k

ans=t=1nd=1ntk+1dkμ2(t)μ(d)S(ntd)

T=td

ans=T=1nTkS(nT)d|Tdμ2(d)μ(Td)

  1. 先考虑快速求出 S(n)

    F(n)=i=1nik,G(n)=i=1nF(i)

    则有 S(n)=i=n+12nF(i)i=1nF(i)=G(2n)2G(n)

    F(n) 可以用欧拉筛筛出来。

  2. 在考虑 f(n)=d|ndμ2(d)μ(Td)

    显然 f(n) 也是积性函数。

    μ 函数考虑,讨论 pn 中的最高次幂,既有 pk|x\andpk+1x

    因为有 f(n)=f(pk)×f(npk),所以讨论 f(pk) 的取值:

    • k=0,则 f(1)=1
    • k=1,则 f(p)=1μ2(1)μ(p)+pμ2(p)μ(1)=p1
    • k=2,则 f(p2)=1μ2(1)μ(p2)+pμ2(p)μ(p)+p2μ2(p2)μ(1)=p
    • k3,根据鸽巢定理,此时 μ(d)=0\orμ(nd)=0,则 f(pk)=0

    于是可以计算出 f(n)

作者:liuir

出处:https://www.cnblogs.com/liuir/p/18226018

版权:本作品采用「署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际」许可协议进行许可。

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