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给定 n,k,求 ∑i=1n∑j=1n(i+j)kgcd(i,j)μ2(gcd(i,j))。
1≤n≤5×106
先推导一波式子:
令 S(n)=∑i=1n∑j=1n(i+j)k,
设 T=td,
先考虑快速求出 S(n)
令 F(n)=∑i=1nik,G(n)=∑i=1nF(i)。
则有 S(n)=∑i=n+12nF(i)−∑i=1nF(i)=G(2n)−2G(n)。
而 F(n) 可以用欧拉筛筛出来。
在考虑 f(n)=∑d|ndμ2(d)μ(Td)
显然 f(n) 也是积性函数。
从 μ 函数考虑,讨论 p 在 n 中的最高次幂,既有 pk|x\andpk+1∤x。
因为有 f(n)=f(pk)×f(npk),所以讨论 f(pk) 的取值:
于是可以计算出 f(n)。
作者:liuir
出处:https://www.cnblogs.com/liuir/p/18226018
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