AT_dp 26 题

AT_dp 26 题

A.Frog 1#

直接 dp。设 $f_i$ 表示调到石头 $i$ 的最小费用，则有

$$f_i=min(f_{i-1}+|a_i-a_{i-1}|,f_{i-2}+|a_i-a_{i-2}|)$$

B.Frog 2#

上一题的升级版，同样设 $f_i$ 表示调到石头 $i$ 的最小费用，则有

$$f_i=\underset{j=i-k}{\overset{i-1}{min}}{f}_j+|a_i-a_j|$$

C.Vacation#

设 $f_{i,0/1/2}$ 表示第 $i$ 天游泳/捉虫/写作业能获得的最大幸福值，则有

$$f_{i,0}=max(f_{i-1,1},f_{i-1,2})+a_i$$

$$f_{i,1}=max(f_{i-1,0},f_{i-1,2})+a_i$$

$$f_{i,2}=max(f_{i-1,0},f_{i-1,1})+a_i$$

D.Knapsack 1#

01 背包。设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个物品组成体积为 $j$ 的背包的最大价值，则有

$$f_{i,j}=max(f_{i-1,j},f_{i-1,j-w_i}+v_i)$$

可以将 $i$ 这一维去掉，则变为

$$f_j=max(f_j,f_{j-w_i}+v_i)$$

注意：$j$ 要反向枚举，因为我们在更新 $f_j$ 的时候是用的是原本的 $f_{j-w_i}$。

E.Knapsack 2#

设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个物品组成价值为 $j$ 的背包的最小体积，则有

$$f_{i,j}=min(f_{i-1,j},f_{i-1,j-v_i}+w_i)$$

可以将 $i$ 这一维去掉，则变为

$$f_j=max(f_j,f_{j-w_i}+v_i)$$

同上，$j$ 也要反向枚举。

F.LCS#

设 $f_{i,j}$ 表示字符串 $s$ 的前 $i$ 位和字符串 $t$ 的前 $j$ 位的最长公共子序列长度，则有

$$f_{i,j}=\{\begin{array}{ll}max(f_{i-1,j},f_{i,j-1},f_{i-1,j-1}+1),& s_i=t_j\\ max(f_{i-1,j},f_{i,j-1}),& \text{otherwise}\end{array}$$

现在还要求出最长公共子序列，于是可以从 $f_{n,m}$ 倒推回 $f_{1,1}$，并记录最长公共子序列。

G.Longest Path#

DAG 上求最长路。设 $f_i$ 表示到点 $i$ 的最长路，则有

$$f_v=\underset{u\to v}{min}(f_u+1)$$

H.Grid 1#

设 $f_{i,j}$ 表示到位置 $(i,j)$ 的方案数，则有

$$f_{i,j}=\{\begin{array}{ll}0,& s_{i-1,j}=s_{i,j-1}\ne \text{.}\\ f_{i-1,j},& s_{i,j-1}\ne \text{.}\\ f_{i,j-1},& s_{i,j-1}\ne \text{.}\\ f_{i-1,j}+f_{i,j-1},& \text{otherwise}\end{array}$$

I.Coins#

设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个硬币，有 $j$ 个朝上的概率，则有

$$f_{i,j}=f_{i-1,j}\times (1-p_i)+f_{i-1,j-1}\times p_i$$

可以将 $i$ 这一维去掉，则变为

$$f_j=f_j\times (1-p_i)+f_{j-1}\times p_i$$

同理，$j$ 也要反向枚举。

J.Sushi#

先考虑倒推。

设 $f_{i,j,k,l}$ 表示剩0/1/2/3个寿司的盘子有 $i/j/k/l$ 个，变成输入状态所需的期望步数，则有，

$$f_{i,j,k,l}=1+{\displaystyle \frac{i}{n}}{f}_{i,j,k,l}+{\displaystyle \frac{j}{n}}{f}_{i+1,j-1,k,l}+{\displaystyle \frac{k}{n}}{f}_{i,j+1,k-1,l}+{\displaystyle \frac{l}{n}}{f}_{i,j,k+1,l-1}$$

整理得：

$${\displaystyle \frac{n-i}{n}}{f}_{i,j,k,l}=1+{\displaystyle \frac{j}{n}}{f}_{i+1,j-1,k,l}+{\displaystyle \frac{k}{n}}{f}_{i,j+1,k-1,l}+{\displaystyle \frac{l}{n}}{f}_{i,j,k+1,l-1}$$

$$f_{i,j,k,l}={\displaystyle \frac{n}{n-i}}+{\displaystyle \frac{j}{n-i}}{f}_{i+1,j-1,k,l}+{\displaystyle \frac{k}{n-i}}{f}_{i,j+1,k-1,l}+{\displaystyle \frac{l}{n-i}}{f}_{i,j,k+1,l-1}$$

因为 $i+j+k+l=n$，所以可以将 $i$ 的一维去掉，则有

$$f_{j,k,l}={\displaystyle \frac{n}{j+k+l}}+{\displaystyle \frac{j}{j+k+l}}{f}_{j-1,k,l}+{\displaystyle \frac{k}{j+k+l}}{f}_{j+1,k-1,l}+{\displaystyle \frac{l}{j+k+l}}{f}_{j,k+1,l-1}$$

K.Stones#

设 $f_i$ 表示有 $i$ 个石头时是否有必胜策略，则有

$$f_i=\{\begin{array}{ll}1,& \mathrm{\exists }j\le n,f_{i-a_j}=0\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$$

L.Deque#

区间 dp。设 $f_{l,r}$ 表示剩余 $l$ 到 $r$ 之间的数的最大差值，则分为两种情况：

1. $(n-len)mod2=0$，即太郎先手，则有

   $$f_{l,r}=max(f_{l+1,r}+a_l,f_{l,r-1}+a_r)$$

2. $(n-len)mod2=1$，即次郎先手，则有

   $$f_{l,r}=min(f_{l+1,r}-a_l,f_{l,r-1}-a_r)$$

M.Candies#

设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个人分 $j$ 个糖果的方案数，则有

$$f_{i,j}=\sum _{k=0}^{min(a_i,j)}{f}_{i-1,j-k}$$

然后可以利用前缀和预处理出

$$su{m}_{i,j}=\sum _{k=0}^j{f}_{i,k}$$

则可以优化为

$$f_{i,j}=su{m}_{i-1,j}-su{m}_{i-1,j-min(a_i,j)}$$

N.Slimes#

区间 dp。设 $f_{l,r}$ 表示区间 $l$ 到 $r$ 之间合并的最小代价，则有

$$f_{l,r}=min(f_{l,k}+f_{k+1,r})+\sum _{i=l}^r{a}_i$$

O.Matching#

状压 dp。设 $f_{i,s}$ 表示前 $i$ 个男性和女性集合中状态为 $s$ 的匹配，转移枚举第 $i$ 个男性与哪一个女性匹配，则有

$$f_{i,s}=\sum _{j\in s}{f}_{i-1,s-j}$$

P.Independent Set#

树形 dp。设 $f_{i,0/1}$ 表示第 $i$ 个节点染成白/黑色，子树内的染色方案，则有

$$f_{i,0}=\prod _{j\in so{n}_i}{f}_{j,0}+f_{j,1}$$

$$f_{i,1}=\prod _{j\in so{n}_i}{f}_{j,0}$$

Q.Flowers#

设 $f_i$ 表示以 $i$ 结尾的最大权值和，则有

$$f_i=\underset{j<i,h_j<h_i}{max}{f}_j+a_i$$

可以用权值树状数组优化，设树状数组的 $t_i$ 表示满足 $h_j=i$ 的最大的 $f_j$ 即可。

R.Walk#

设 $f_{i,j,t}$ 表示从 $i$ 到 $j$ 的路径中长度为 $t$ 的路径条数，则有

$$f_{i,j,t}=\sum f_{i,k,t-1}\times f_{k,j,1}$$

然后发现它类似于矩乘的式子，则可以用矩乘优化。设 $f_t$ 表示长度为 $t$ 时的矩阵，则有

$$f_t=f_{t-1}\times f_1=f_1^t$$

S.Digit Sum#

设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 位在任意填的情况下，模 $m$ 的值为 $j$ 的方案数，则有

$$f_{i,j}=\sum f_{i-1,(j-k)modm}$$

然后设 $g_{i,j}$ 表示前 $i$ 位填数不能超过 $n$ 的情况下，模 $m$ 的值为 $j$ 的方案数，则有

$$g_{i,j}=g_{i-1,(j-nu{m}_i)modm}+\sum _{k<nu{m}_i}{f}_{i-1,(j-k)modm}$$

T.Permutation#

设 $f_{i,j}$ 表示填充前 $i$ 位，且第 $i$ 位上的数为 $j$ 的方案数，则有

$$f_{i,j}=\{\begin{array}{ll}\sum _{k<i}{f}_{i-1,k},& s_i=\text{<}\\ \sum _{k>i}{f}_{i-1,k},& s_i=\text{>}\end{array}$$

然后前缀和优化即可。

U.Grouping#

设 $f_s$ 表示集合为 $s$ 的物品分组的最大得分，则可以分成两个集合转移，或直接计算，即

$$f_s=\underset{t\subset s}{max}{f}_t+f_{s-t}$$

V.Subtree#

假设当前的根为 $rt$，那么可以设 $f_i$ 表示 $i$ 的子树内 $i$ 为黑色的黑色连通块方案数，则有

$$f_i=\prod _{j\in so{n}_i}(f_j+1)$$

所以 $rt$ 的答案为 $f_{rt}$。但若对于每个点都这么做，会达到 $O(n^2)$ 的时间复杂度，所以考虑换根 dp。

假设当前已经求出 $i$ 的父亲 $fa$ 的答案为 $g_{fa}$，则有

$$g_i=f_i\times {\displaystyle \frac{g_{fa}}{f_i+1}}$$

其中 $g_i$ 为 $i$ 的答案。

但是因为有模数，所以不能用除法，要预处理前缀积与后缀积，然后直接相乘。

W.Intervals#

设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个位置，最后一个 1 在 $j$ 位置的最大分数，则有

$$f_{i,j}=\{\begin{array}{ll}{f}_{i-1,j}+\sum _{l_k\le j,r_k=i}{a}_k,& j<i\\ max{f}_{i-1,k},& j=i\end{array}$$

观察到有很多 $f$ 之的更新都用到了同一个命令，而且我们发现每一个命令影响的是一个区间，所以我们可以将 $f$ 值丢到线段树上，然后进行区间加。

而对于 $i=j$ 的更新时在 $[1,i-1]$ 中取最大值，所以还要进行额外更新。注意到 $i$ 及其后面的尚未更新，所以可以调用全局最大值。

X.Tower#

一眼背包。先排序，若 $i$ 要在 $j$ 的上方，则把 $i$ 放在 $j$ 的上方的剩余空间要大于把 $j$ 放在 $i$ 的上方的剩余空间，则 $s_j-w_i>s_i-w_j$。移项得，$s_i+w_i<s_j+w_j$。

设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个箱子，重量和为 $j$ 的最大价值，则有

$$f_{i,j}=max(f_{i-1,j},f_{i-1,j-w_i}+v_i)$$

将 $i$ 这一维去掉后，则有

$$f_j=max(f_j,f_{j-w_i}+v_i)$$

易得 $j$ 也要反向枚举。

但重量和是 ${10}^7$ 级别的，仍需优化。

可以发现重量和一定会小于等于 $s_i+w_i$，所以可以优化为 ${10}^4$ 级别。

Y.Grid 2#

首先，易得从 $(x_1,y_1)$ 到 $(x_2,y_2)$ 的路径方案数为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_1+y_1-x_2-y_2}{x_1-x_2})$。

设 $f_i$ 表示到达第 $i$ 个障碍，且不经过其他障碍的方案数，则有

$$f_i=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_i+y_i-2}{x_i-1})-\sum f_j\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{x_i+y_i-x_j-y_j}{x_i-x_j})$$

如果把点 $(h,w)$ 看做第 $n+1$ 个障碍，则答案就为 $f_{n+1}$。

Z.Frog 3#

设 $f_i$ 表示跳到石头 $i$ 的最小花费，则有

$$f_i=min(f_j+(h_i-h_j{)}^2+C)$$

暴力拆平方得

$$f_i=f_j+h_i^2-2h_i{h}_j+h_j^2+C$$

整理得

$$f_j+h_j^2=2h_i{h}_j+f_i-C$$

现在想要让截距最小，所以可以对点 $(h_j,f_j+h_j^2)$ 维护下凸壳。