数值分析--第四章--特征值特征向量计算（乘幂法）

摘要：n阶方阵A满足AX=λx，λ为 矩阵A的特征值，x为特征值对应的特征向量。 

 

 

 

一.乘幂法（求模最大特征值及对应特征向量）

　　　　设矩阵A有n个相性无关的特征向量x1,x2,x3,.....xn，相应的特征值λ1,λ2,λ3,.....λn（由大到小排列）。

　　　　迭代法引入：上一章学了迭代法求解线性方程组Ax=b的解，给定任一 的初始值v0，不断迭代可以得到Ax=b的解。同理，给定任一非零的n维向量v0，不断迭代可以　　　　　 　　　　　　　　　　　　得到矩阵A的特征向量，

 

　　　　对于初始向量v0可以由A的n个线性无关的特征向量表示：

　　　　带入迭代方程中：

　　　　　　

 

 

　　　　当迭代次数k趋近于无穷大时，可得到最大特征值λ1对应的特征向量a1x1(与x1线性相关)

 　　　　　　

 

　　　　同理，当迭代次数趋近于无穷大时，可得到绝对值最大的特征值，λ1

　　　　　　

 

　　　　其中，m表示向量中的绝对值最大的那个元素值 

 

　　　　如何利用迭代法求解按模最大特征值和特征向量

　　　　

 

　　　　

　　　　

　　　　说明：

　　　　1.初始值：我们给定初始值x0=[1,1,1]^T,取特征值1

　　　　2.第一次迭代：

　　　　   对应的近似特征值取：

 

　　　　3.第二次迭代：

　　　　

二.改进乘幂法

　　　　这个规范化处理的目的：防止数据溢出或是数据消失

　　　　

 

 　　　　从上面可以看出，改进乘幂法即是每次迭代出的特征向量都进行一次规范化处理