数值分析-第二章-线性方程(直接求解二--平方根法)
- Doolittle分解复习
- LDU分解
定理:矩阵A的各阶顺序主子式≠0,A可唯一分解为:A=LDU
其中,L单位下三角矩阵,U单位上三角矩阵,D非奇异对角矩阵。
【即从Doolittle分解的U中,提取出对角阵】
提取方法:U的每行提取出对角元素【每行其余元素,缩小相应倍数】,组成对角矩阵D
- Cholesky分解
定理:A为对称正定矩阵,存在非奇异下三角矩阵L,主对角为正时,分解唯一。
补充:A正定--各阶顺序主子式>0.矩阵A的特征值都>0
理解:将D开方,之后前后合并
- 平方根法
上文说明了,Cholesky分解的过程,但是计算过程可以简化,直接求出L矩阵,无需先进行Toolittle分解和LDU分解
- 改进平方根法
从上式可以看出,通过Crount分解,再转换成LDL^T分解.
相比于平方根法,改进平方根法,计算量相当,但可以避免开方运算。
计算机 底层的运算,最终转化成加法运算。越是复杂的运算,转换的层数越高 ,计算时间越多。在能够避免复杂运算的时候,尽量避免复杂运算。