数值分析-第二章-线性方程组求解（直接求解一）

 

 

 

 

1.Cramer法则：

                          

 其中D是系数矩阵A对应的行列式，D1是用1，2代替第一列的数值，D2是用1，2代替第二列的数值。

特点：计算逻辑简单，计算量大。只能计算系数矩阵A是方阵的函数，并且A的行列式不能为0.

2.Gauss消元法（初等行变换）

 

 

特点：系数行列式值不变，顺序主子式的值不变。因此，使用该方法的条件是：系数矩阵A的 各阶顺序主子式不为零。

缺点：当aii=0，就不能求解；在消元过程中，时，舍入误差扩散，导致误差过大

 3.Gauss主元素法

 

 

 列主消元法：【每一次消元，都把aii最大的行作为基础】

 

 

特点：能够降低计算误差，不改变矩阵的列位置

4.全主消元法：

 

 

 列主消元法实在红色框内寻找最大值，并且调整行的位置。

全主消元法则是在绿色框内寻找最大值，这将伴随解位置的变化【如，原本x3的系数在第三列，调整之后，就在第二列了，最后的解位置也需要随之调整】。

特点：相比于列主消元法，从未消部分中，寻找最大值，列位置变化（解的位置变化）

5.Gauss-Jordan消元法【方阵求逆】

 

 

特点：能够直接得出解，省去带入过程，计算量与消元法计算量相当。

6.矩阵的LU分解：

补充：初等矩阵左乘矩阵A，相当于矩阵A的行变换，如下式所示。

变换后行列式的值不变，顺序主子式的值不变。

 第一次：行变换

 

 

 

 

 

第k次：行变换

 

 

 

 

 

 如何确定初等矩阵的元素值：

L的第一列元素确定公式：

 

 

LU消元法：实则是消元法的乘法形式，也是进行初等航变换，化解成上三角或下三角矩阵

 

 

•  Doolittle分解：L为单位下三角矩阵（对角元素为1）

 

 

 

 计算过程：

 

 

 

 

 

 

• Crount分解：U为单位上三角矩阵

计算过程：