数论——扩展欧几里德

扩展欧几里德:

 

　　在了解扩展欧几里德之前我们应了解gcd,也就是最大公因数的算法

　　且看下面这段代码

　　int gcd(int a,int b){

　　　　if(b==0) return a;

　　　　else return gcd(b,a%b);

　　}

　　当然也可以写成更为简单的三目运算符写法,减少代码长度

　　int gcd(int a,int b){ return b==0?a:gcd(b,a%b); }　

　　此方法称为辗转相除法

　　下面进行推理

　　给出两数 假定 a=16,b=12;

　　求两数最大公因数

　　开始模拟运算过程{

　　　　b!=0

　　　　返回 a=12,b=4;

　　　　b!=0

　　　　返回 a=4,b=0

　　　　b=0

　　　　给出a=4

　　　　确实为最大公因数　

　　}

　　那数学的证明过程呢

　　设 a/b==k....r 由此可得 r=a-k*b;其中a为被除数,b为除数,k为商,r为余数

　　设c=gcd(a,b)

　　即c为a和b的最大公因数

　　我们不妨设a=m*c,b=n*c;

　　可得式子  r=a-k*b=mc-k*nc=c(m-kn);

　　然后可列出 gcd(b,r);

　　所以 r=c(m-kn);

　　可得 c为r的因数

　　由反证法可得m-kn与n互质

　　可得gcd(b,r)=c;

　　所以 gcd(a,b)=gcd(b,r)

　　证毕

　　妙不可言啊~~~妙不可言~~~

　　那接下来进入正题

　　扩展欧几里得

　　算法本身可以用来求解不定方程

　　也可以拿来求逆元

　　还可以拿来求解线性同余方程

　　先介绍第一个用途

　1.扩展欧几里得求解不定方程

　　二元一次不定方程即 ax+by=m;

　　但我们完全可以把式子变化一下(反正对式子一无所知)

　　根据百度可得

　　ax+by=gcd(a,b) 有解，但zkc大佬告诉我们解不唯一

　　设 ax+by=gcd(a,b)*k

　　得 ax+by=d, gcd(a,b)|d;

　　gcd(a,b)|d 表示 d可以整除gcd(a,b);

　　当x=1,y=0时

　　a=gcd(a,b);

　　我们可以靠递归退回x,y到本身

　　即可得出答案

　　　网上大佬的论证

　　　　当 b=0 时，gcd(a,b)=a，此时 x=1 , y=0

       　　当 b!=0 时，

　　       设 ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2

       　　又因 a%b=a-a/b*b

       　　则 ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2

　　　　ax1+by1=bx2+ay2-a/b*by2

　　　　ax1+by1=ay2+bx2-b*a/b*y2

　　　　ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)

　　　　解得 x1=y2 , y1=x2-a/b*y2

　　　　因为当 b=0 时存在 x , y 为最后一组解

　　　　而每一组的解可根据后一组得到

　　　　所以第一组的解 x , y 必然存在

　　代码

　　void exgcd(int a,int b){

　　　　if(b==0){

　　　　　　x=1;

　　　　　　y=0;

　　　　　　return;

　　　　}

　　　　exgcd(b,a%b);

　　　　k=x;

　　　　x=y;

　　　　y=k-a/b*y;

　　　　return;

　　}

　　end;

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