Codeforces Round #781 (Div. 2) 题解

A.GCD vs LCM
题目意思是询问T次，每次给一个数N，N=a+b+c+d.其中a,b,c,d都是正数，且gcd(a,b)=lcm(c,d),让你构造出这样的a,b,c,d的数列。
T是小于1e4，n小于1e9,复杂度应在O(Tlongn)。
先考虑暴力做法：
因为lcm(c,d)=cd/gcd(c,d);所以本题有等式gcd(a,b)gcd(c,d)=c*d;而gcd(a,d)若存在的话应为正整数，所以从1开始枚举gcd(a,b)的值，
再枚举C，D的值，遇到合法的GCD（a,b)，再反过来枚举a,b的值，复杂度爆炸。运行下来，样例的结果是：
1 1 1 1
1 4 1 1
1 5 1 1
1 6 1 1
1 7 1 1
突然发现，若设gcd(a,b)=lcm(c,d)=1，那数列就可以构造为1，n-3,1,1。就是合法的，所以直接输出1，n-3,1,1就行，复杂度O(T)；
代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
	int t;
	cin>>t;
	while(t--){
		int n;
		cin>>n;
		cout<<"1 "<<n-3<<" 1 1"<<endl;
	}
	return 0;
}

B.Array Cloning Technique
题目意思是给你一个数列，你可以有两个操作，一是COPY任一个数列出来，二是对数列（可以是不同数列）任两元素进行交换。问操作几次后可以得到一个所有数相等的数列。
先分类与简化题目，1、若本身数列元素都相同，那不用操作，2，元素不相同，只交换没有用（数不会变），要COPY出一个新数列，交换时，每交换一次都要费一步，所以原
数列中元素数最多的那个元素（比如是X）不动，用新数列中的X交换原数列里其它的元素，若交换后还不全等的话，就再操作一遍。
那其中就分解成两个子问题：
一是求数列中最多重复的元素的数量，这用MAP很好解决；

int maxk=0;//最多重复的数的数量
map<int,int> q;//用map记录每个数出现的次数
for(int i =0;i<n;i++){
	int k;
	cin>>k;
	q[k]++;
	maxk=max(q[k],maxk);
}

二是模拟这个换元素的过程，单独写个函数：

int op(int n,int k){ //模拟交换的过程
	if(n==k)return n-k;
	else if(n<2*k) return n-k+1;
	else return k+1+op(n,2*k);
}

所以代码就出来了：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int op(int n,int k){
	if(n==k)return n-k;
	else if(n<2*k) return n-k+1;
	else return k+1+op(n,2*k);
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	int t;
	cin>>t;
	while(t--){
		int n;
		cin>>n;
		int maxk=0;//最多重复的数的数量
		map<int,int> q;//用map记录每个数出现的次数
		for(int i =0;i<n;i++){
			int k;
			cin>>k;
			q[k]++;
			maxk=max(q[k],maxk);
		}
		int ans=0;
		ans=op(n,maxk);
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}

回头来看发现模拟过程这一段，若是从结果的角度回来看，原数列最后总是要全变成重复最多的那个数，所以答案应该等于n-maxk+copy的次数。
所以模拟过程这一段也可以写成；

int ans=0;
ans=n-maxk;
int z=maxk;
while(z<n){
	ans++;
	z*=2;
}

总结：
A题目考察GCD与LCM的概念，暴力做法可训练代码能力，结果可训练归纳能力；
B题目考察了MAP的应用。
复杂度明显大的题可考虑推结论，试着从结果来发现规律与性质。