NYOJ 1007

在博客NYOJ 998 中已经写过计算欧拉函数的三种方法，这里不再赘述。

本题也是对欧拉函数的应用的考查，不过考查了另外一个数论基本定理：如何用欧拉函数求小于n且与n互质所有的正整数的和。

　　记euler(x)公式能计算小于等于x的并且和x互质的数的个数；我们再看一下如何求小于等于n的和n互质的数的和， 我们用sum(n)表示；

　　定理：若gcd(x, a)=1，则有gcd(x, x-a)=1；

　　　　证明：反证法：假设gcd(x, x-a)=k (k>1)，那么有(x-a)%k=0---1式，x%k=0---2式； 由1式和2式可得 a%k=0---3式； 由2式和3式可得gcd(x, a)=k，与gcd(x,a)=1矛盾，假设不成立，即原式得证；

 　  由此我们可以得知小于x并且与x互质的数必然是成对出现的并且有对应的一对数和为x；所以有sum(n)=euler(n)/2*n；

 

故本题的写法为：

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

const int N=1000000007 ;
typedef long long LL;

LL Euler(LL n){
    LL ans = n;
    for(int i = 2; i * i <= n; i++){
        if(n % i == 0){
            ans = ans / i * (i-1);
            while(n % i == 0)
                n /= i;
        }
    }
    if(n > 1) ans = ans / n * (n-1);
    return ans;
}

//计算得到小于n且与n互质的正整数的和   
long long Euler_sum(long long n){  
    if(n==1)  
        return 1;  
    else  
        return n*Euler(n)/2;  
}  

int main(){     
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){ 
        LL n,m;
        cin>>n>>m;
        LL ans = 0;
        for(int i = 1; i * i <= n; i++){
            if(n % i == 0){
                if(i >= m){
                    int d = i;
                    ans = (ans+d*Euler_sum(n/d) ) %N;   
                       //考虑gcd(x,n)   1<=x<=n
                    //其中gcd(x/d,n/d) = 1 ,Euler(n/d)我们得到的是能够使得gcd(x,n) = d 的x的取值的个数
                    //Euler_sum(n/d)我们得到的是小于n/d且与n/d互质的正整数的和
                    //暂且设“小于n/d且与n/d互质的正整数”分别为a1,a2...an等那么乘以d之后得到的数列b1 = a1*d  b2 = a2*d ...bn = an*d
                    //那么b1 b2 ...bn等数与n的公约数就是d ,而d>=m,满足题设    
                    //所以在公约数为d的情况下这些能够满足gcd(x,n) = d >=m的数的和，即b1+b2+...bn = (a1+a2+...+an)*d,
                    //而(a1+a2+...+an) = Euler_sum(n/d) 故b1+b2+...bn = d*Euler_sum(n/d)
                    //这样就处理完了公约数为d的情况，同理按照for循环，1~sqrt(n)遍历，
                    //分别测试公约数为别等于i（i从1到sqrt(n)遍历）是否满足n%i==0即可，若满足就令d=i,ans+=d*Euler_sum(n/d)  
                }
                if(i * i != n && n / i >= m){
                    int d = n / i;
                    ans = (ans+ d*Euler_sum(n/d) )%N;  
                    //在上部for循环中进行到sqrt(n),这一步就是处理后面的东西：n/i   
                }  
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}