平稳随机过程通过线性系统

平稳随机过程通过线性系统后仍然是平稳随机过程。这是可以由信号与系统中的系统的性质通过数学计算证明的。下面这道题正是应用了这个性质，十分巧妙。

　　说有n₁,n₂两个高斯概率分布相互独立，其均值都为0，方差都为b²。令X₁=a+n₁ (a为常数), X₂=n₂, 求P(X₁<=X₂).

分析：这道题咋一看，完全没什么思路。不过，最近不是正在学通讯原理的平稳随机过程嘛，往这边想想，不就有思路了嘛。不妨令n₁,n₂为两个平稳随机过程的概率分布，令Y=X₁-X₂=a+n₁-n₂,则由于“平稳随机过程通过线性系统后仍然是平稳随机过程”的性质，可以知道Y也符合高斯分布。  P(X₁<=X₂)即P(Y<=0).

　　E(Y)=E(a+n₁-n₂)=a+E(n₁)-E(n₂)=a.   

　　D(Y)=D(a+n₁-n₂)=D(n₁-n₂)=D(n₁)+D(n₂)=2b².

所以Y的分布为Y=[1/(2b√π)]exp[-(x-a)/4b² ].   P(Y<=0)=∫_∞⁰Ydx = (1+erf (a/2b) )/2 .  即 P(X₁<=X₂)= (1+erf (a/2b) )/2。