图论1-2
===================================================================================
第一章：
概念与定理： 1.V(G)用来记录一个图的顶点集，E(G)用来记录一个图的边集。
2.根据图中边的有无方向，可以分为有向图和无向图。
3.简单图：既不含平行边又不含环的图称为简单图。特征：平行边，环
4.生成子图：G的生成子图是指满足V(H)=V(G)的子图。注意与子图的区别。
5.基础简单图：从图G中删去所有的环，并使每一对相邻顶点只留下一条边，即可得到G的一个简单生成子图，称为G的基础简单图。
6.用d(v)记录顶点v的度数。
7.显然：戴尔特G表示最大顶点度数，西塔G表示最小顶点度数
8.握手定理：总顶点度数等于总边数的两倍。推论：任何图中奇度数顶点的个数是偶数。（如果是奇数的话，就不符合总度数是偶数的握手定理了）
9.度序列：设G=(V,E)为一个v阶无向图，V={v1,v2,v3,v4...vu},称d(v1),d(v2),d(v3)...d(vu)为G的度序列。
10.度序列可图化：对于给定的非负整数序列d=(d1,d2,d3...dv),若存在以v={v1,v2,v3...vu}为顶点集的v阶无向图G，使得的d(vi)=di,则称d是可图化的。特别的，若所得的图是简单图，则称d是可简单图化的。
11.可图化定理：设非负整数列d=(d1,d2,d3...dv), 则d是可图化的，当且仅当总度数(即d1+d2+d3+...+dv)为0.
证明： 必要性：由握手定理易知显然成立
充分性：由已知条件可知，d中有2k(0<=k<=[v/2 +0.5])个奇数。不妨设它们d1,d2,d3...dk,dk+1...d2k.可用多种方法做出v阶无向图G=(V,E),V={v1,v2,v3...vu},比如边集如下产生：在顶点v r和v r+k之间连边，r=1,2...k.若di为偶数，令di'=di,若di为奇数，令di'=di-1,得d'=(d'1,d'2,d'3...d'u),则d'i均为偶数。再在vi处做出d'i/2条环，i=1,2,3...u,将所得各条边集合组合在一起组成E，则G的度数为d。其实，di为偶数时，d(vi)=2*d'i/2=2*di/2=di,di为奇数时，d(vi)=1+2*d'i/2=1+d'i=1+di-1=di.这就证明了d是可图化的。
12.关联矩阵：设无向图G=(V,E), V={v1,v2,v3,v4...vx}, E={e1,e2,e3...ey}
M(G)=(mij)v x*y mij为顶点vi与ej关联的次数。
(1)无向图的关联矩阵:
(2)有向图的关联矩阵:
13.邻接矩阵：设有向图D=(V,E),令aij为顶点vi邻接到顶点vj边的条数.
(1)有向图的邻接矩阵：
(2)无向图的邻接矩阵：vij=k表示ei到ej有k条边。注意：无向图的邻接矩阵是对称的.
第一章练习：设v 阶无向简单图为3-正则图(即所有点的度数均为3)，且边数u与v满足2v-3=u 问这样的无向图有几种非同构的情况？
答案两种。由u=3v/2,2v-3=u得，顶点数v=6,边数u=9.如下图：
(1) (2)
=======================================================================================
第二章：
概念与定理：
1.途径与回路：途径：G的一条途径是指一个有限非空序列W=v0 e1 v1 e2 v2 e3 ... ek vk,对1<=i<=k,ei的端点是vi-1和vi.称W是从v0到vk的一条途径，或一条(v0,vk)途径。顶点v0,vk分别称为W的起点和终点，而v1,v2,v3,v4,v5...vk-1称为W的内部顶点，W中的边数k称为W的长度。 回路：若v0=vk,则W称为闭途径。
2.迹与闭迹：迹：若途径W中，e1,e2...ek(即各条边)互不相同，则W称为迹。 闭迹：v0=vk的迹称为闭迹。
3.路与圈： 路(径)：若在迹W中，v0,v1,v2...vk互不相同，则W称为一条路(径)。圈：v0=vk的路称为一个圈。
4.长度为奇数的圈称为奇圈，长度为偶数的圈称为偶圈。
5.在简单图中，途径v0v1v2v3...vk表示成顶点序列v0v1v2...vk.
6.连通图：若无向图G是平凡图或G中任意两个顶点都是连通的，则称G是连通图，否则称G为不连通图。(连通关系是自反的、对称的、传递的)
7.连通分支：连通关系把G的顶点集V划分为等价类V1，V2，V3...VK,子图G[v1],G[v2],G[v3],G[v4],...,G[vk]称为G的连通分支。两个顶点U和v在G中是连通的，当且仅当他们在G的同一连通分支中。 G的连通分支数记为w(G).
8.两点间的距离：设u,v为无向图G中任意两点，并且U和v之间连通，那么从u,v的最短路径的长度称为u到v的距离，记做d(u,v).若u和v不连通，则记d(u,v)=无穷。
9.定理：一个无向图G=(V,E)是偶图当且仅当G中无长度为奇数的圈。(首先补充偶图定义：偶图是指一个图，它的顶点集可以分解为两个(非空)子集X和Y,使得每条边都有一个顶点在X中，另一个端点在Y中； 另外这样的一种分类(X,Y)称为图的一个二分类。完全偶图是指具有二分类(X,Y)的简答偶图，其中X的每个顶点都与Y的每个顶点相连；)
证明：必要性。设G是具有二分类的(X,Y)的偶图.若G中无回路，结论显然成立。若G中有回路，只需证明G中无奇圈。设C为G中任意一圈，令C=v0v1v2...vkv0.不失一般性，可假定v0包含于X，因为v0v1包含于E且G是偶图，故v1包含于Y，同理v2包含于X。一般来说，v2i包含于X且v2i+1包含于Y，又因为v0包含于X，所以vk包含于Y。于是对某个i,有k=2i+1，因此，C是偶图。
充分性。显然对连通图证明充分性就够了。设G是不包含奇圈的连通图。任选一个顶点u且定义V(顶点)的一个分类(X,Y)如下：
X={x包含于V | d(u,x)是偶数}
Y={y包含于V | d(u,y)是奇数}
现在证明(X,Y)是G的一个二分类。假设v和w是X的两个顶点，P是最短的(u,v)路，Q是最短的(u,w)路，以u1记P和Q的最后一个公共顶点。因P和Q事最短路，P和Q的(u,u1)节也是最短的(u,u1)路，故长度相同。现因P和Q长都是偶数，所以P的(u1,v)节P1和Q的(u1,w)节Q1必有相同的奇偶性。又此推出(v,w)路P1^-1 Q1长为偶数。若v和w相连，则P1^-1Q1wv就是一个奇圈，与假设矛盾。故X中任意两个顶点均不相邻；类似地，Y中任意两个顶点也不相邻。
10.最短路径问题。赋权图G中从某一给定点u0到其余各点的最短路径。记为d(u0,v).
这里介绍Dijkstra算法和Floyd算法，当然也有其他的好算法不胜枚举，后续将给出代码实现。(呜呜，早就想这么干了，这样才觉得学习图论是有用的，是可以应用到实际的解决问题中去的)
(1)Dijkstra算法
假设S是V的真子集且U0包含于S，并记非S=V-S.若P=u0...xy是从u0到非S的最短路，则显然x包含于S且P的(u0,x)节必然是最短(u0,x)路，所以d(u0,y)=d(u0,x)+w(xy) 并且从u0到非S的距离公式(如下)给出，这个公式是Dijkstra算法的基础。
(2)Floyd算法
先放一放好吧。。伤。。。。两位算法大人，我先写点其他的，回来再收拾你们。
11.集合系统：一个集合系统是一个有序对(V,F),其中V是元素的集合，F是一簇V的子集的集合。注意：当F时V中元素对的集合时，(V,F)就是普通的图。因此，集合系统(V,F)可以看成是图的推广，称为超图。H=(V,F),V={1,2,3,4,5,6,7},F={{1,2,4},{1,3,7},{1,6,5},{2,3,5},{2,6,7},{3,4,6},{4,5,7}}
12.关联图：一个超图H=(V,F)表示成一个偶图G[V,F],其中v包含于V和f包含于F相邻当且仅当v包含于f. 这个偶图称为集合系统H的关联图。
13.交图：一个集合系统(V,F)的交图是这样一个图，它的顶点是F,F中两个集合f1和f2包含于F对应的顶点相邻，当且仅当f1交f2!=空
=========================================================================================
对集
=================================================================
对集(匹配)：设M是E的一个子集，它的元素是G中的连杆，并且这些连杆中的任意两个在G中均不相邻，则称M为G中的对集(或匹配)。
配对：M中一条边的两个端点称为在M下是配对的。
饱和：若对集M的某条边与定点v关联，则称M饱和顶点v,并且称v是M饱和的，否则称v是M非饱和的。
完美对集：若G的每个顶点均是M饱和的，则称M是G的完美对集。
M交错路：设M是G的对集，G的M交错路是指其边在E\M和M中交错出现的路。
M可扩路：M可扩路是指起点和终点都是M非饱和的M交错路。
定理5.1：G的对集M是最大对集当且仅当G不包含M可扩路。
待续。
