利用【对极几何约束】优化图像坐标点

0.背景

已知两张图片的两个对应点，，以及Fundamental Matrix F，如何利用对极约束优化两个点的坐标？

 

1.概念

这里我们引入Sampson近似: Sampson Approximation(一阶几何修正)

首先，我们引入Sampson修正项:

 

引入这个误差函数后，我们就可以得到修正后的点的坐标：

 

其中，J为雅克比，

误差项:

 

2.对极几何约束的雅克比求解

 

 

3.上述推导，需要注意几个地方:

(1)向量微分的定理

(2)分母注意加转置

 

 

这里，之所以分母有转置，是因为在求解雅克比，且分母为向量时，一般为1xN，而x向量一般为Nx1，所以这里我们要加一个转置。

我们给出一个说明：

 

 

 

 

4.上述雅克比求解完成后，我们就可以得到修正后的两张图片上的二维点坐标:

 

5.参考文献:

《Multiple View Geometry in Computer Vision》P314

12.4 Sampson approximation (first-order geometric correction)

 

6.致谢

非常感谢 @黄山 的详细推导，以及很多证明内容的提供!