【原创·源码】看机器学习如何求解多元一次方程？

　　前言

　　很久没写博客了，一直想把自己的一些知识进行沉淀，毕竟时间久了，就很容易忘记。所以想了想，为了不让自己忘记，干脆就写成博客，还可以和大家一起探讨和学习，于是我决定在周末空余时间写写关于人工智能与机器学习应用系列的文章，今天就从最简单的机器学习模型开始。

　　问题起源

　　求解多元一次方程的解似乎看起来不是一件很难的事情，可以通过方程组的合并求解，从技术可行性上是完全没有问题的，但是能否有一个通用的模型帮助我们去求解多元一次方式呢？例如给定下列方程：

　　5x+ 2y = 10

　　x + 4y = 11

　　通过方程组的合并消元求解，则很容易得 x=1，y=0.25。如果写一个求解的该二元一次方程的求解函数，似乎也不是什么难事，但是如果变量不只是两个，对方程组合并消元的复杂度则会加大，甚至造成程序的可读性也变差。

　　机器学习的核心思想源自于数学，方程组合并消元的方法只是数学中人们总结的技巧，但并不是方程组求解的原始思路，此时此刻，我们需要借助最原始的数学思维帮助我们建立一个数学模型，辅助求解多元一次方程组。

　　问题抽象

 　  我们将公式进一步抽象，变成程序可理解的数组，如下

      5x+ 2y = 10 转变为数组[5,2,10]

      x + 4y = 11 转变为数组[1,4,11]

      我们希望有一个数学模型的输入是两个数组：[5,2,10]，[1,4,11]，输出是方程求解的数组[1,0.25]。即希望有下所示的功能，将数学问题转变了计算机的工程问题，则期望的是如下的工程求解：

       // 定义线性方程组求解模型，2表示变量的个数
       LinearEquation linearEquation = LinearEquation(2);
       // 将第一个方程加入到模型中[5,2,10]
       linearEquation.addEquation(new Double[]{5.0, 2.0}, 10.0);
       // 将第二个方程加入到模型中[1,4,11]
       linearEquation.addEquation(new Double[]{1.0, 4.0}, 11.0);
       // 模型进行训练
       linearEquation.practice();
       // 输出训练后的x和y的值
       System.out.println(Arrays.toString(linearEquation.getVariables()));

　　模型引入

　　对机器学习而言，永远逃不过两类计算，一个是距离计算，一个是概率计算。而方程式中的x和y我们可以理解为权重，即当x和y为某值时(5x+2y-10) 的距离尽可能短，使得几乎等于0，同理(x+4y-11)的距离也尽可能短，使得几乎也等于0，权重或为概率或为距离。类似这样的计算，很容易想到人工神经网络。

　　人工神经网络可以处理线性与非线性的问题，由于本问题是求解多元一次方程，因此是线性问题，可以采用人工神经网络中最基本的模型感知器进行求解，感知器是Frank Rosenblatt在1957年就职于Cornell航空实验室（Cornell Aeronautical Laboratory）时所发明的一种人工神经网络。它可以被视为一种最简单形式的前馈神经网络，是一种二元线性分类器。感知器使用特征向量来表示的前馈神经网络，把矩阵上的输入x（实数值向量）映射到输出值 f(x)上（一个二元的值）。感知器模型如下图所示：

　　

　　通过上图可以看出，感知器模型由一下几个部分组成：
　　1. 输入。输入主要是包括n个输入项p_i，以及每一个输入项下对应的权重w_i
　　2. 激活函数。感知器可以灵活选择激活函数。激活函数给神经元引入了非线性因素，使得神经网络可以任意逼近任何非线性函数，这样神经网络就可以应用到众多的非线性模型中。
　　3. 输出。感知器的输出则比较容易理解如下公式所示，其中b是偏执项
　　　 

　　一个较为实际的理解感知器即为:输入的x是对结果y的影响参数，但是每一个输入的x对y的影响都有相应的权重w，最终对y的影响结果则等于每一个输入与权重之和的累积。

 

　　模型应用与求解多元一次方程

      感知器的训练过程是使得对应的w_i处于某值的时候，输入的x_i能够得到相应的y，实际也是在求w_i的过程。而在对多元一次方程求解的时候，可以将未知数x_i的系数视为w_i，则多元一次方程是已知w_i，y，求x_i的过程。因此，我们可以将方程中的x_i视为感知器中w_i，方程中的w_i视为x_i，这样求方程的解，则完全转变为感知器的训练过程。而方程式的系数即可为感知器的训练集。如果方程式有三个未知数，则至少有三个方程（即三个训练集）才可能获得解，应用代码如下所示：

      // 方程式一： 10.0*x1+2.0*x2 = 12.0
      // 方程式二：1.0*x1+1.0*x2  = 2.0
      // 根据上述方程可知： x1 = 1.0, x2 = 1.0
      com.iveely.ml.application.LinearEquation linearEquation =
                      new com.iveely.ml.application.LinearEquation(2);
      linearEquation.addEquation(new Double[]{10.0, 2.0}, 12.0);
      linearEquation.addEquation(new Double[]{1.0, 1.0}, 2.0);
      linearEquation.practice();
      Double[] ret = linearEquation.getVariables();
      // 计算结果误差需小于0.1，可以根据学习速率和迭代次数调整精确度
      assertEquals(1.0, ret[0], 0.1);
      assertEquals(1.0, ret[1], 0.1);　　

　　归纳总结

　　这是机器学习中神经网络最基本的实际应用，感知器能够解决多元一次方程问题的根本原因也是在于线性可分，理论上其它的机器学习模型也是可以做到。如果方程无解，则可以通过最小二乘法，找到一条最佳的直线，尽可能满足点的覆盖。

　　

　　您的朋友：刘凡平（liufanping@iveely.com），LinearEquation源码请参见这里，iveely.ml源码参见这里。