【证明】唯一分解定理

定理内容

每个大于\(1\)的自然数，要么本身就是质数，要么可以写成\(2\)个或以上的质数的乘积，而且这个乘积经过排序后仅有一种

证明

存在性

假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积，那么我们将这一类自然数中最小的那个设为\(n\)。
按照一个数的可除性，我们可以将数字分为三类：质数、合数、1。

因为定义，\(n\)大于1，所有\(n\)必定属于质数或者合数。
其次，\(n\)定然不是质数，因为任意质数\(P\)可以写成质数的乘积，即\(P=P\)与假设相矛盾。所以，\(n\)只能是合数。

因为每个合数都可以写成两个严格小于自身且大于\(1\)的数的乘积。
不妨设\(n=a\times b\)，其中\(a,b\)都是介于\(1\)至\(n\)之间的自然数。因为，\(n\)是大于\(1\)的自然数而不能写成质数的乘积中最小的一个，所以\(a,b\)都可以写成质数的乘积。
从而得出\(n=a \times b\)可以写成质数的乘积。

这与假设相矛盾，因此大于\(1\)的自然数必然可以写成质数的乘积

唯一性

假设有大于1的自然数可以以多种方式写成一个乘积，那么假设\(n\)是其中最小的一个。

首先\(n\)不是质数，因为质数的分解只有一种方法，即他的本身。所以将\(n\)用两种方法写出\(n=p_1p_2p_3...p_r=q_1q_2q_3...q_s\)。
根据定理，质数\(p_1|q_1q_2q_3\)，所以在\(q_1q_2q_3...q_s\)中有一个能被\(p_1\)整除，不妨为\(q_1\)。
但是，\(q_1\)也是质数，因此\(q_1=p_1\)，所以比\(n\)小的正整数\(n'=p_2p_3...p_r\)也可以写成\(q_2q_3...q_s\)

这与\(n\)的最小性矛盾，因此唯一性得证。