【证明】唯一分解定理

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定理内容

每个大于 $1$ 的自然数，要么本身就是质数，要么可以写成 $2$ 个或以上的质数的乘积，而且这个乘积经过排序后仅有一种

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证明

存在性

假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积，那么我们将这一类自然数中最小的那个设为 $n$ 。
按照一个数的可除性，我们可以将数字分为三类：质数、合数、1。

因为定义， $n$ 大于1，所有 $n$ 必定属于质数或者合数。
其次， $n$ 定然不是质数，因为任意质数 $P$ 可以写成质数的乘积，即 $P = P$ 与假设相矛盾。所以， $n$ 只能是合数。

因为每个合数都可以写成两个严格小于自身且大于 $1$ 的数的乘积。
不妨设 $n = a \times b$ ，其中 $a, b$ 都是介于 $1$ 至 $n$ 之间的自然数。因为， $n$ 是大于 $1$ 的自然数而不能写成质数的乘积中最小的一个，所以 $a, b$ 都可以写成质数的乘积。
从而得出 $n = a \times b$ 可以写成质数的乘积。

这与假设相矛盾，因此大于 $1$ 的自然数必然可以写成质数的乘积

唯一性

假设有大于1的自然数可以以多种方式写成一个乘积，那么假设 $n$ 是其中最小的一个。

首先 $n$ 不是质数，因为质数的分解只有一种方法，即他的本身。所以将 $n$ 用两种方法写出 $n = p_{1} p_{2} p_{3} . . . p_{r} = q_{1} q_{2} q_{3} . . . q_{s}$ 。
根据定理，质数 $p_{1} | q_{1} q_{2} q_{3}$ ，所以在 $q_{1} q_{2} q_{3} . . . q_{s}$ 中有一个能被 $p_{1}$ 整除，不妨为 $q_{1}$ 。
但是， $q_{1}$ 也是质数，因此 $q_{1} = p_{1}$ ，所以比 $n$ 小的正整数 $n^{'} = p_{2} p_{3} . . . p_{r}$ 也可以写成 $q_{2} q_{3} . . . q_{s}$

这与 $n$ 的最小性矛盾，因此唯一性得证。