裴蜀定理的证明

定理内容

对于任意不全为 $0$ 的整数 $a,b$，方程 $ax+by=gcd(a,b)$ 一定有整数解 $x,y$。

证明

引理 $1$

对于两个正整数 $a,b$ 满足 $a>b$ 可以推出 $gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$。

设 $a=kb+c,d\mid gcd(a,b)$，那么一定有 $d\mid a,d\mid b$。

通过移项可以得到 $c=kb-a$，将两边同除 $d$ 得到 ${\displaystyle \frac{c}{d}}=k\cdot {\displaystyle \frac{b}{d}}-{\displaystyle \frac{a}{d}}$，因为 $d\mid a,d\mid b$ 所以等式右侧为整数，这就证明了 $d\mid c$。

将 $a=kb+c$ 变形可以得到 $c=bmoda$，可以推出 $d\mid bmoda$，因为所有的因数都是相同的，所以自然有 $gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$。

定理证明

对于任意一个 $a,b$ 为 $0$ 的情况有 $gcd(a,b)=max(a,b)$，此时 $x=1,y=1$ 就是一组解，定理显然满足。

设 $d=gcd(a,b)$，那么将等式两侧同乘 ${\displaystyle \frac{1}{d}}$ 可以得到 ${\displaystyle \frac{a}{d}}\cdot x+{\displaystyle \frac{b}{b}}\cdot y=1$，不妨设 $a^{\prime }={\displaystyle \frac{a}{d}},b^{\prime }={\displaystyle \frac{b}{d}}$。

所以只需要证明 $a^{\prime }x+b^{\prime }y=1$ 即可。

根据引理 $1$ 可以得到辗转相除法 $gcd(a,b)=gcd(b,amodb)=\cdots$。

我们记录出每一取模，具体的 $a=q_i\cdot b+r_i$，其中 $r_i$ 就是 $amodb$ 的值。

在辗转相除法进行到最后一步时一定有 $r_n=1$，将取模操作反向的带回原式可以得到：$r_{n-2}=x_n{r}_{n-1}+1,1=r_{n-2}-x_n{r}_{n-1},\cdots$。

通过这样的不断代换就可以得到 $a^{\prime }x+b^{\prime }y=1$。

拓展

多个元素

裴蜀定理可以拓展到多个数的情况，也就是对于不全为 $0$ 的整数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 的方程 $\sum _{i=1}^n{a}_i\cdot x_i=\underset{i=1}{\overset{n}{gcd}}{a}_i$ 一定可以找到整数解 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$。

一般应是否有解

对于更一般的方程 $\sum _{i=1}^n{a}_i\cdot x_i=m$，如果 $m\mid \underset{i=1}{\overset{n}{gcd}}{a}_i$ 那么方程有解，否则一定无解。

证明很简单，因为 $\sum _{i=1}^n{a}_i\cdot x_i=\underset{i=1}{\overset{n}{gcd}}{a}_i$ 有解，那么将所有的元素除以 $m$ 就得到一组解了。