裴蜀定理的证明

定理内容

对于任意不全为 \(0\) 的整数 \(a,b\)，方程 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 一定有整数解 \(x,y\)。

证明

引理 \(1\)

对于两个正整数 \(a,b\) 满足 \(a>b\) 可以推出 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\)。

设 \(a=kb+c,d\mid\gcd(a,b)\)，那么一定有 \(d\mid a,d\mid b\)。

通过移项可以得到 \(c=kb-a\)，将两边同除 \(d\) 得到 \(\dfrac{c}{d}=k\cdot\dfrac{b}{d}-\dfrac{a}{d}\)，因为 \(d\mid a,d\mid b\) 所以等式右侧为整数，这就证明了 \(d\mid c\)。

将 \(a=kb+c\) 变形可以得到 \(c=b\bmod a\)，可以推出 \(d\mid b\bmod a\)，因为所有的因数都是相同的，所以自然有 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\)。

定理证明

对于任意一个 \(a,b\) 为 \(0\) 的情况有 \(\gcd(a,b)=\max(a,b)\)，此时 \(x=1,y=1\) 就是一组解，定理显然满足。

设 \(d=\gcd(a,b)\)，那么将等式两侧同乘 \(\dfrac{1}{d}\) 可以得到 \(\dfrac{a}{d}\cdot x+\dfrac{b}{b}\cdot y=1\)，不妨设 \(a'=\dfrac{a}{d},b'=\dfrac{b}{d}\)。

所以只需要证明 \(a'x+b'y=1\) 即可。

根据引理 \(1\) 可以得到辗转相除法 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)=\cdots\)。

我们记录出每一取模，具体的 \(a=q_i\cdot b+r_i\)，其中 \(r_i\) 就是 \(a\bmod b\) 的值。

在辗转相除法进行到最后一步时一定有 \(r_n=1\)，将取模操作反向的带回原式可以得到：\(r_{n-2}=x_nr_{n-1}+1,1=r_{n-2}-x_nr_{n-1},\cdots\)。

通过这样的不断代换就可以得到 \(a'x+b'y=1\)。

拓展

多个元素

裴蜀定理可以拓展到多个数的情况，也就是对于不全为 \(0\) 的整数 \(a_1,a_2,\cdots ,a_n\) 的方程 \(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\cdot x_i=\gcd\limits_{i=1}^{n} a_i\) 一定可以找到整数解 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\)。

一般应是否有解

对于更一般的方程 \(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\cdot x_i=m\)，如果 \(m\mid \gcd\limits_{i=1}^{n} a_i\) 那么方程有解，否则一定无解。

证明很简单，因为 \(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\cdot x_i=\gcd\limits_{i=1}^{n} a_i\) 有解，那么将所有的元素除以 \(m\) 就得到一组解了。