[CF1878F] Vasilije Loves Number Theory 的题解

题目大意

令 $d(x)$ 表示 $x$ 的正因子数量，给定 $n,q$。现有两种操作：

1. 给定 $x$，令 $n\leftarrow n\cdot x$。同时询问是否存在一个正整数 $a$ 满足 $gcd(a,n)=1$ 且 $d(n\cdot a)=n$。
2. 将 $n$ 还原为最初的值。

数据保证任何时刻，$d(n)\le {10}^9$。

思路

因为题目其实并没有要求输出 $a$ 具体的值，所以我们并不需要真正的将 $a$ 求解出来，而只需要判断存在性就可以了。

因为 $n$ 可能会很多次被乘以 $x$，所以我们就可以储存 $n$ 的所有的质因子。

假设 $n$ 在质因数分解之后有 $k$ 个质因子，而且第 $i$ 个质因子出现了 $x_i$ 次，那么总共的因子数量就是 $\prod _{i=1}^k{x}_i+1$。

对于这个性质，我们可以感性的理解一下：对于每一个质因子，我们可以选 $num\in [0,x_i]$ 个，即有 $x_i+1$ 种可能性。通过乘法原理就可以得到因子数量为 $\prod _{i=1}^k{x}_i+1$。

如果满足 $d(n)|n$ 就一定可以找到满足条件的 $a$ 反之就不可能，理由如下：

对于 $a$ 取任何数一定满足 $d(a\cdot n)|d(n)$。

因为 $d(n)=\prod _{i=1}^k{x}_i+1$，$d(a\cdot n)=\prod _{i=1}^k{x}_i+y_i+1$，其中 $y_i$ 以 $i$ 为 $a$ 的质因子的个数。

对于 $d(a\cdot n)$ 一定可以找到一个 $a$ 使 $d(n)\cdot q=d(n)$，此时的 $a=s^{q-1}$，其中 $s$ 是一个极大质数。

因为题目要求 $gcd(a,n)=1$，所以只要满足 $s$ 并非 $n$ 的质因子即可。

AC Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,q;
map<int,int> mp,mp1;
void solve() {
	cin>>n>>q;
	for(int i=2;i*i<=n;i++) {
		while(n%i==0){
			mp[i]++;
			n/=i;
		}
	}
	if(n>1){
		mp[n]++;
	}
	mp1=mp;
	for (int i=1,op,x;i<=q;i++){
		std::cin>>op;
		if(op==2){
			mp=mp1;
			continue;
		}
		cin>>x;
		for(int j=2;j*j<=x;j++) while(x%j==0) mp[j]++,x/=j;
		if(x>1) mp[x]++;
		int cnt=1;
		for(auto i:mp) cnt*=(i.second+1);
		bool flag=1;
		for(int j=2;j*j<=cnt;j++){
			int sum=0;
			while(cnt%j==0) sum++,cnt/=j;
			if(sum>mp[j]){
				flag=0;
				break;
			}
		} 
		if(cnt>1&&!mp[cnt]||!flag) cout<<"NO\n";
		else cout<<"YES\n";
	}
	mp.clear();
	cout<<'\n';
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	int t;
	cin>>t;
	while(t--) solve();
	return 0;
}