[ARC115B] Plus Matrix 的题解

题目大意

给你一个 \(n\times n\) 的数组 \(C\)，\(c_{i,j}=a_i+b_j\)，求 \(a\) 数组与 \(b\) 数组，不保证有解，其中 \(1\le n\le 500,1\le c_{i,j}\le 10^9\)，而且 \(a_i,b_i\) 都是非负整数。

\[\begin{bmatrix} a_1+b_1&a_1+b_2&\cdots&a_1+b_{n-1}&a_1+b_n\\ a_2+b_1&a_2+b_2&\cdots&a_2+b_{n-1}&a_2+b_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n-1}+b_1&a_{n-1}+b_2&\cdots&a_{n-1}+b_{n-1}&a_{n-1}+b_n\\ a_n+b_1&a_n+b_2&\cdots&a_n+b_{n-1}&a_n+b_n\\ \end{bmatrix}\]

思路

因为 \(c_{i,j}=a_i+b_j,c_{i,j+1}=a_i+b_{j+1}\)。

所以 \(c_{i,j}-c_{i,j+1}=a_i+b_j-(a_i+b_{j+1})=a_j-a_{j+1}\)。

将我们一行依次相减，就得到了 \(b\) 的一组关系，其实就是 \(n-1\) 个等式。

\(\begin{cases} b_1-b_2=c_{i,1}-c_{i,2}\\ \cdots\\ b_{n-1}-b_{n}=c_{i,n-1}-c_{i,n} \end{cases}\)

显然，对于所有的 \(i\in [1,n]\) 这 \(n-1\) 个等式应该都是满足的。如果不能满足这个条件，那么就是无解的。

因为 \(a_i,b_i\) 都是非负整数，所以我们需要找到一组解使上面的等式全部满足。为了让答案在最后好处理，我们可以先找到一组最小解。

因为上面的方程对于所有的 \(i\in [1,n]\) 都满足，所以我们只需要考虑一行就可以了，为了便于讨论，我选取了第 \(1\) 行。得到第 \(i\) 行最小的元素 \(x\)，所有 \(b_i=a_i-x\)，对于 \(a\) 数组也是如此。

因为我们找到的是最小解，所有有可能会出现 \(a_i+b_j<c_{i,j}\) 的情况。因为我们已经得到了 \(a\) 数组之间的关系，那么我们就可以将 \(a\) 数组全部加 \(1\)。

AC Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=505;
int n,c[N][N],a[N],b[N];
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			cin>>c[i][j];
		}
	}
	for(int i=1;i<n;i++){
		for(int j=1;j<n;j++){
			if(c[i][j]-c[i][j+1]!=c[i+1][j]-c[i+1][j+1]){
				cout<<"No";
				return 0;
			}
		}
	}
	for(int j=1;j<n;j++){
		for(int i=1;i<n;i++){
			if(c[i][j]-c[i][j+1]!=c[i+1][j]-c[i+1][j+1]){
				cout<<"No";
				return 0;
			}
		}
	}
	int mmin=INT_MAX;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		mmin=min(c[1][i],mmin);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		b[i]=c[1][i]-mmin;
	}
	mmin=INT_MAX;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		mmin=min(c[i][1],mmin);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=c[i][1]-mmin;
	}
	cout<<"Yes\n";
	int add=c[1][1]-a[1]-b[1];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cout<<a[i]<<" ";
	}
	cout<<'\n';
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cout<<b[i]+add<<" ";
	}
	return 0;
}