[ARC115B] Plus Matrix 的题解

题目大意

给你一个 $n\times n$ 的数组 $C$，$c_{i,j}=a_i+b_j$，求 $a$ 数组与 $b$ 数组，不保证有解，其中 $1\le n\le 500,1\le c_{i,j}\le {10}^9$，而且 $a_i,b_i$ 都是非负整数。

$$\left[\begin{array}{ccccc}{a}_1+b_1& a_1+b_2& \cdots & a_1+b_{n-1}& a_1+b_n\\ a_2+b_1& a_2+b_2& \cdots & a_2+b_{n-1}& a_2+b_n\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n-1}+b_1& a_{n-1}+b_2& \cdots & a_{n-1}+b_{n-1}& a_{n-1}+b_n\\ a_n+b_1& a_n+b_2& \cdots & a_n+b_{n-1}& a_n+b_n\end{array}\right]$$

思路

因为 $c_{i,j}=a_i+b_j,c_{i,j+1}=a_i+b_{j+1}$。

所以 $c_{i,j}-c_{i,j+1}=a_i+b_j-(a_i+b_{j+1})=a_j-a_{j+1}$。

将我们一行依次相减，就得到了 $b$ 的一组关系，其实就是 $n-1$ 个等式。

$\{\begin{array}{l}{b}_1-b_2=c_{i,1}-c_{i,2}\\ \cdots \\ b_{n-1}-b_n=c_{i,n-1}-c_{i,n}\end{array}$

显然，对于所有的 $i\in [1,n]$ 这 $n-1$ 个等式应该都是满足的。如果不能满足这个条件，那么就是无解的。

因为 $a_i,b_i$ 都是非负整数，所以我们需要找到一组解使上面的等式全部满足。为了让答案在最后好处理，我们可以先找到一组最小解。

因为上面的方程对于所有的 $i\in [1,n]$ 都满足，所以我们只需要考虑一行就可以了，为了便于讨论，我选取了第 $1$ 行。得到第 $i$ 行最小的元素 $x$，所有 $b_i=a_i-x$，对于 $a$ 数组也是如此。

因为我们找到的是最小解，所有有可能会出现 $a_i+b_j<c_{i,j}$ 的情况。因为我们已经得到了 $a$ 数组之间的关系，那么我们就可以将 $a$ 数组全部加 $1$。

AC Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=505;
int n,c[N][N],a[N],b[N];
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			cin>>c[i][j];
		}
	}
	for(int i=1;i<n;i++){
		for(int j=1;j<n;j++){
			if(c[i][j]-c[i][j+1]!=c[i+1][j]-c[i+1][j+1]){
				cout<<"No";
				return 0;
			}
		}
	}
	for(int j=1;j<n;j++){
		for(int i=1;i<n;i++){
			if(c[i][j]-c[i][j+1]!=c[i+1][j]-c[i+1][j+1]){
				cout<<"No";
				return 0;
			}
		}
	}
	int mmin=INT_MAX;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		mmin=min(c[1][i],mmin);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		b[i]=c[1][i]-mmin;
	}
	mmin=INT_MAX;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		mmin=min(c[i][1],mmin);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=c[i][1]-mmin;
	}
	cout<<"Yes\n";
	int add=c[1][1]-a[1]-b[1];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cout<<a[i]<<" ";
	}
	cout<<'\n';
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cout<<b[i]+add<<" ";
	}
	return 0;
}