Unusual Minesweeper 题解

题目大意

给你 \(n\) 个炸弹，第 \(i\) 个炸弹在 \((x_i,y_i)\) 的位置，可以将这一行与这一列的距离小于 \(k\) 的其他所有炸弹引爆，而且连锁的引爆不需要时间。每一秒你可以引爆一个炸弹，其中第 \(0\) 秒也可以引爆，并且第 \(i\) 个炸弹在第 \(timer_i\) 的时候会自己爆炸。要求输出引爆所有炸弹的最小时间。

其中 \(1\le n \le 2\times 10^5,0\le k \le 10^9,-10^9\le x,y\le 10^9\)。

思路

因为炸弹爆炸的距离是一样的，所有对于任意的 \(x\) 可以引爆 \(y\)，那么在 \(y\) 被引爆时 \(x\) 也会被引爆。

对于这个性质，在输入时可以将所有可以相互引爆的炸弹先预处理出来作为一个集合，同时计算出每个集合自己爆炸所需要的时间，这个操作可以通过并查集进行处理。

对于任意的 \(x\le y\)：如果时间为 \(x\) 时可以全部引爆，那么在 \(y\) 这一时刻也一定可以。如果时间为 \(y\) 时不可以全部引爆，那么在 \(x\) 时刻也绝对不可能将炸弹全部引爆。

根据这个规律，我们可以发现时间与全部引爆的关系是有单调性的，所以这个题目可以使用二分进行求解。

假设二分的时间为 \(mid\)。如果这一组炸弹自己爆炸的时间 \(\le mid\)，那么在规定时间到达前就会自己爆炸，所以并不需要人为的引爆。反之，如果这一组爆炸的时间 \(> mid\)，那么就需要将这一组进行人为的引爆。

因为在时间为 \(0\) 时也可以引爆炸弹，所以如果时间为 \(mid\)，那么实际上是可以手动引爆 \(mid+1\) 组炸弹的。

二分的复杂度为 \(O(\log n)\)，\(check\) 函数的复杂度为 \(O(n)\)，总时间复杂度为 \(O(n\log n)\)。

AC Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e5+5;
int n,m,fa[N],s[N],x[N],y[N];
struct node{
	int x,y,id;
}a[N];
bool vis[N];
bool cmp1(node a,node b){
	if(a.x==b.x){
		return a.y<b.y;
	}
	return a.x<b.x;
}
bool cmp2(node a,node b){
	if(a.y==b.y){
		return a.x<b.x;
	}
	return a.y<b.y;
}
int find_root(int x){
	if(fa[x]==x){
		return x;
	}
	return fa[x]=find_root(fa[x]);
}
bool ck(int mid){
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(s[find_root(i)]>mid){
			vis[find_root(i)]=1;
		}
	}
	int sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		sum+=vis[i];
	}
	return sum<=mid+1;
}
void solve(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i].x>>a[i].y>>s[i];
		a[i].id=i;
		fa[i]=i;
	}
	sort(a+1,a+1+n,cmp1);
	a[0].x=a[0].y=-1e9-1;
	for(int i=1,p=0;i<=n;i++){
		if(a[i].x==a[i-1].x&&abs(a[i].y-a[i-1].y)<=m){
			int x=find_root(a[i].id),y=find_root(a[i-1].id);
			if(x!=y){
				fa[y]=x;
				s[x]=min(s[x],s[y]);
			} 
		}
	}
	sort(a+1,a+1+n,cmp2);
	for(int i=1,p=0;i<=n;i++){
		if(a[i].y==a[i-1].y&&abs(a[i].x-a[i-1].x)<=m){
			int x=find_root(a[i].id),y=find_root(a[i-1].id);
			if(x!=y){
				fa[y]=x;
				s[x]=min(s[x],s[y]);
			} 
		}
	}
	int l=0,r=n,ans=-1;
	while(l<=r){
		int mid=(l+r)/2;
		if(ck(mid)){
			r=mid-1;
			ans=mid;
		}
		else{
			l=mid+1;
		}
	}
	cout<<ans<<'\n';
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	int T;
	cin>>T;
	while(T--){
		solve();
	}return 0;
}