距离

首先，我们考虑画出平面直角坐标系上所有到原点的 曼哈顿距离 为 \(1\) 的点。

通过公式，我们很容易得到方程 \(\left | x\right| +\left | y\right| = 1\)。

将绝对值展开，得到 \(4\) 个 一次函数 ，分别是：

\[y = x + 1\ (x \geq 0, y \geq 0) \]

\[y = -x + 1\ (x \leq 0, y \geq 0) \]

\[y = x - 1\ (x \geq 0, y \leq 0) \]

\[y = -x - 1\ (x \leq 0, y \leq 0) \]

将这 \(4\) 个函数画到平面直角坐标系上，得到一个边长为 \(\sqrt{2}\) 的正方形，如下图所示：

正方形边界上所有的点到原点的 曼哈顿距离 都是 \(1\) 。

同理，我们再考虑画出平面直角坐标系上所有到原点的,切比雪夫距离 为 \(1\) 的点。

通过公式，我们知道 \(\max(\left |x\right | ,\left | y\right| )=1\)。

我们将式子展开，也同样可以得到可以得到 \(4\) 条 线段，分别是：

\[y = 1\ (-1\leq x \leq 1) \]

\[y = -1\ (-1\leq x \leq 1) \]

\[x = 1\ (-1\leq y \leq 1) \]

\[x = -1\ (-1\leq y \leq 1) \]

画到平面直角坐标系上，可以得到一个边长为 \(2\) 的正方形，如下图所示：

正方形边界上所有的点到原点的 切比雪夫距离 都是 \(1\) 。

将这两幅图对比，我们会神奇地发现：这 \(2\) 个正方形是 相似图形 。

所以，曼哈顿距离 与 切比雪夫距离 之间会不会有联系呢？

接下来我们简略证明一下：

假设 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\)，\(A,B\) 两点的 曼哈顿距离 为：

我们很容易发现，这就是 \((x_1 + y_1,x_1 - y_1), (x_2 + y_2,x_2 - y_2)\) 两点之间的 切比雪夫距离。

所以将每一个点 \((x,y)\) 转化为 \((x + y, x - y)\)，新坐标系下的 切比雪夫距离 即为原坐标系下的 曼哈顿距离。

同理，\(A,B\) 两点的 切比雪夫距离 为：

而这就是 \(\left(\frac{x_1 + y_1}{2},\frac{x_1 - y_1}{2}\right),\left (\frac{x_2 + y_2}{2},\frac{x_2 - y_2}{2}\right)\) 两点之间的 曼哈顿距离。

所以将每一个点 \((x,y)\) 转化为 \(\left(\frac{x + y}{2},\frac{x - y}{2}\right)\)，新坐标系下的 曼哈顿距离 即为原坐标系下的 切比雪夫距离。

结论：

将切比雪夫坐标系旋转 \(45^\circ\)，再缩小到原来的一半，即可得到曼哈顿坐标系。

将点 \((x,y)\) 的坐标变为 \((x + y, x - y)\)，原坐标系中的 曼哈顿距离 \(=\) 新坐标系中的 切比雪夫距离。

将点 \((x,y)\) 的坐标变为 \(\left( \frac{x + y}{2},\frac{x - y}{2} \right)\)，原坐标系中的 切比雪夫距离 \(=\) 新坐标系中的 曼哈顿距离。